Question

（17分）如图所示，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，一质量为m、带电量为+q的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP=d，OQ=2d，不计粒子重力。

（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。

（2）若磁感应强度的大小为一定值B₀，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B₀；

（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

Answer

（1）速度的大小，与x轴正方向的夹角；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）粒子在电场力的作用下由P到Q属于类平抛运动，水平方向为匀速直线运动，PO为匀加速运动，加速度的大小就是电场力与质量的比值，可计算出来；且水平方向与竖直方向运动的时间是相等的，根据这些关系即可求出粒子过Q点时速度的大小和方向。（2）由于粒子是与水平方向成45°角射入磁场的，射出磁场又是垂直于y轴的，故可画出粒子的运动轨迹，再通过几何关系找出半径与d的数量联系，圆周运动的半径出来了，则由粒子在磁场中的运动规律即可计算出磁场的大小。（3）由题意可知，粒子将再次经过Q点，且速度的大小不变，说明粒子在磁场中的运动规律呈现对称性，先画出如图所示的运动轨迹，再根据关系确定半径的大小，然后确定粒子通过的路程，再用路程除速度即是所用的时间。

具体的过程：

（1）设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，

由牛顿第二定律得qE=ma    ①

由运动学公式得  ②

   ③ 

 ④    

    ⑤

   ⑥

联立①②③④⑤⑥式得      ⑦

       ⑧

（2）设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图所示，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形，得     ⑨

由牛顿第二定律得       ⑩

联立⑦⑨⑩式得     ⑾

（3）设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析（粒子运动的轨迹如图所示，）O2、O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2′，由几何关系知，O2FGO2′和O2QHO2′均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOF为等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得

    ⑿]

粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得

    ⒀

设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有

      ⒁

联立⑦⑿]⒀⒁得     ⒂

考点：本题考查了平抛运动的知识，磁场中的圆周运动的知识。