Question

如图所示，竖直平面内有光滑且不计电阻的两道金属导轨，宽都为L，上方安装有一个阻值R的定值电阻．两根质量都为m，电阻都为r，完全相同的金属杆靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，虚线下方的区域内存在匀强磁场，磁感应强度B．
（1）将金属杆1固定在磁场边界下侧．金属杆2从磁场边界上方静止释放，进入磁场后恰作匀速运动，求金属杆2释放处离开磁场边界的距离h．
（2）将金属杆1固定在磁场边界下侧．金属杆2从磁场边界上方h（h＜h）高处静止释放，经过一段时间后再次匀速，此过程流过电阻R的电量为q，则此过程整个回路中产生了多少热量？
（3）金属杆2从离开磁场边界h（h＜h）高处静止释放，在进入磁场的同时静止释放金属杆1，两金属杆运动了一段时间后都开始了匀速运动，试求出杆2匀速时的速度是多少？并定性画出两杆在磁场中运动的v-t图象（两个电动势分别为ε₁、ε₂不同的电源串联时，电路中总的电动势ε=ε₁+ε₂）．

Answer

（1）金属杆2在没进入磁场时，机械能守恒，据此求出金属棒2进入磁场时的速度，由于进入磁场时匀速运动，因此安培力等于重力，据此可解得结果．
（2）当金属棒2从小于h处下落时，进入磁场时，先做加速度逐渐减小的加速运动，然后匀速运动，根据流过导体电量求出导体棒2在磁场中下落的距离，然后根据功能关系求解回路中产生的热量．
（3）对两棒受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，可以判断出两棒的运动情况相同，只是初速度不同，写出速度表达式即可进一步得出速度-时间图象．
【解析】
（1）匀速时：           ①
磁场外下落过程，根据机械能守恒有：     ②
得：
故金属杆2释放处离开磁场边界的距离．
（2）设流过电量q的过程中，金属杆1在磁场中下落H过程中有：
  ③
由动能定理得：
     ④
由①③④得：
故该过程整个回路中产生热量为：．
（3）因为h＜h，所以金属杆1进入磁场后先加速，加速度向下
由于两金属杆流过电流相同，所以FA相同
对金属杆1有mg-FA=ma1
对金属杆2有mg-FA=ma2
发现表达式相同，所以两金属杆加速度a1和a2始终相同，两金属杆速度差值也始终相同
设匀速时速度分别为v1、v2，有
    ⑤
又：E=BLv1+BLv2
都匀速时：   ⑥
联立⑤⑥得：
故杆2匀速时的速度是：．

两杆在磁场中运动的v-t图象如下所示：