Question

如图所示，带正电的粒子以水平速度v从平行金属板MN间中线OO′连续射入，MN板间接有如图乙所示的随时间变化的电压u_MN，令电场只存在两板间，紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，CD为分界线、EF为屏幕，已知金属板间距、磁场宽度、极板长均为0.2m，每个带正电粒子速度v=10⁵m/s，比荷为q/m=10⁸C/kg，B=5×10^-3T，粒子重力不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，可认为电场是恒定不变的，求：
（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；
（2）带电粒子射出电场的最大速度；
（3）带电粒子打在屏幕EF上的范围．

Answer

（1）由题意，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，可认为电场是恒定不变的．在t=0时刻射入电场的带电粒子时电场电压为零，不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小，洛伦兹力提供向心力求出带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）将带电粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，水平方向为匀速运动，竖直方向为初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式列式求解；
带电粒子从平行板边缘射出时，电场力做功最多，获得的动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）经过电场偏转后，粒子速度向上偏转或向下偏转，画出可能的轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力得到轨道半径，通过几何关系求解．
【解析】
【解析】
（1）t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小，
粒子在磁场中运动时有qvB=
rmin==m=0.2m
（2）因带电粒子通过电场时间t==2×10-6s＜T，所以带电粒子通过电场过程中可认为电场恒定不变．
设两板间电压为U1时，带电粒子能从N板右边缘飞出，
则  =
得  U1==100V
在电压低于或等于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，故U1=100V时，
带电粒子射出电场速度最大，q-mv2
解得：vm==1.41×105m/s
（3）t=0时刻进入电场中粒子，进入磁场中圆轨迹半径最小，打在荧光屏上最高点E，
O′E=rmin=0.2m
从N板右边缘射出粒子，进入磁场中圆轨迹半径最大，
qvmB=m
解得：rm==m
因vm=v，故tanθ==1，θ=45°，
O2P=2×=0.2m=rmax
所以从P点射出粒子轨迹圆心O2正好在荧光屏上且O2与M板在同一水平线上，0′O2==0.1m，
O′F=rm-O2O′=-0.1=0.18（m）
带电粒子打在荧光屏AB上范围为：EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径为0.2m；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×105m/s；
（3）带电粒子打在屏幕EF上的范围为离屏幕中心上0.2m，下0.18m，长度为0.38m．