Question

如图所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框放置在倾角为θ的光滑绝缘斜面的底端，并用细线通过轻质定滑轮与质量为M的重物相连．磁场的方向垂直金属框平面，磁感应强度的大小只随y方向变化，规律为B=B+ky，k为大于零的常数．假设运动过程中金属框总有两条边与y轴平行，且金属框不转动，当金属框沿y轴方向运动距离为h时速度达到最大．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g．求：
（1）金属框的最大速度；
（2）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，金属框中产生的焦耳热；
（3）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，通过金属框横截面的电量．

Answer

（1）金属框切有两条边切割磁感线，都产生感应电动势，最终的电动势大小为E=（B2-B1）Lv=kL2v，速度越大，电动势越大，电流越大，安培力F=（B2-B1）IL=KIL2，知安培力越大，对线框进行受力分析，知线框向上做加速度减小的加速运动，当加速度减小到0，速度达到最大．
（2）金属框从开始运动到达到最大速度的过程中，电流在变，所以求金属框中产生的焦耳热只能通过能量的角度．重物和线框组成的系统，动能增加，重力势能减小，内能增加，根据能量守恒求解．
（3）根据q=△t=，只要求出这段时间内磁通量的变化量即可求出．
【解析】
（1）达到最大速度时，金属框及物体的加速度为零，
有：Mg=T    
T=mgsin37°+F   
F=（B2-B1）IL=KIL2   

解以上方程，可解得：

（2）设产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律，
有
得：
（3）q===
△φ=△B•L2=khL2
解得：