Question

如图所示，两根不计电阻的金属导线MN与PQ 放在水平面内，MN是直导线，PQ的PQ₁段是直导线，Q₁Q₂段是弧形导线，Q₂Q₃段是直导线，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行，M、P间接入一个阻值R=0.25Ω的电阻．一根质量为1.0kg不计电阻的金属棒AB能在MN、PQ上无摩擦地滑动，金属棒始终垂直于MN，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．金属棒处于位置（I）时，给金属棒一个向右的速度v₁=4 m/s，同时方向水平向右的外力F₁=3N作用在金属棒上使金属棒向右做匀减速直线运动；当金属棒运动到位置（Ⅱ）时，外力方向不变，大小变为F₂，金属棒向右做匀速直线运动，经过时间t=2s到达位置（Ⅲ）．金属棒在位置（I）时，与MN、Q₁Q₂相接触于a、b两点，a、b的间距L₁=1 m，金属棒在位置（Ⅱ）时，棒与MN、Q₁Q₂相接触于c、d两点．已知s₁=7.5m．求：
（1）金属棒向右匀减速运动时的加速度大小？
（2）c、d两点间的距离L₂=？
（3）外力F₂的大小？
（4）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q=？

Answer

（1）由题，金属棒从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中，做匀减速运动，加速度不变，根据E=BLv、I=、F安=BIL结合求出金属棒在位置I时受到的安培力大小，根据牛顿第二定律可求出加速度a．
（2）由运动学公式求出金属棒在位置（Ⅱ）时的速度v2，由于棒做匀减速运动，安培力大小不变，由安培力的表达式F=求解L2．
（3）金属棒从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，做匀速直线运动，F2与安培力大小相等．
（4）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，外力做功提供的能量转化为棒的动能和内能，根据能量守恒定律求解电阻R上放出的热量Q．
【解析】
（1）金属棒从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中，做匀减速运动，加速度不变，方向向左，设大小为a，在位置I时，a、b间的感应电动势为E1，感应电流为I1，受到的安培力为F安1，则有
   E1=BL1v1，，F安1=…①
联立解得  F安1=4N…②
根据牛顿第二定律得
  F安1-F1=ma…③
代入解得，a=1m/s2…④
（2）设金属棒在位置（Ⅱ）时速度为v2，由运动学规律得 =-2as1…⑤
解得v2=1m/s…⑥
由于金属棒在（I）和（II）之间做匀减速直线运动，即加速度大小保持不变，外力F1恒定，所以AB棒受到的安培力不变即
  F安1=F安2…⑦
解得  =2m…⑧
（3）金属棒从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，做匀速直线运动，感应电动势大小与位置（Ⅱ）时的感应电动势大小相等，安培力与位置（Ⅱ）时的安培力大小相等，所以
  F2=F安2=4N…⑨
（4）设位置（II）和（Ⅲ）之间的距离为s2，则
   s2=v2t=2 m…⑩
设从位置（I）到位置（Ⅱ）的过程中，外力做功为W1，从位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的过程中，外力做功为W2，则
 W1=F1s1=22.5 J
 W2=F2s2=8 J
根据能量守恒得W1+W2
解得Q=38J
答：
（1）金属棒向右匀减速运动时的加速度大小为1m/s2．
（2）c、d两点间的距离L2为2m．
（3）外力F2的大小为4N
（4）金属棒从位置（I）运动到位置（Ⅲ）的过程中，电阻R上放出的热量Q为38J．