Question

如图（a）所示，两个平行的金属板间接有图（b）所示的交变电压，板长为L=0.4m，板间距d=0.2m．在金属板的右侧即磁场的理想左边界，磁场区域足够大．磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里，现有一带电粒子（不计重力）以v=10⁵m/s速度沿着极板中线从左端射人极板间．已知粒子的荷质比为q/m=10⁸ C/kg，粒子通过电场区域的极短时间内，可以认为电场是恒定的．
（1）若粒子在t=0时刻射入，求粒子在磁场中运动的射人点到出射点间的距离；
（2）证明任意时刻射人电场的粒子，在磁场中运动的射人点与出射点间的距离都相等；
（3）求粒子射出电场时的最大速度．

Answer

（1）带电粒子在t=0时刻进入，电场强度为零，粒子将以v的速度垂直磁场左边界射入磁场中．由牛顿定律和几何关系求解．
（2）粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿定律和几何关系证明射人点与出射点间的距离恒定．
（3）当粒子从极板边缘离开电场时，侧移量最大，电场力做功最多，粒子的速度最大．根据侧移量，由牛顿定律和运动学公式求出此时电压，由动能定理求出最大速度．
【解析】
（1）带电粒子在t=0时刻进入，由题可知，粒子通过电场区域时间极短，因此粒子从进入电场到离开电场，板间电场强度始终为零，则粒子将以v的速度垂直磁场左边界射入磁场中．
    由牛顿第二定律，得
      qvB=m
     得r==0.2m
故粒子在磁场中运动的射人点到出射点间的距离S=2r=0.4m．
（2）设某时刻进入磁场的粒子速度为v，方向与水平方向成θ角，如右图
     则v=
   粒子在磁场中运动时的轨迹半径为
      r′==
   粒子射人点到出射点间的距离S′=2r′cosθ=2
      由（1）知S′=2r=0.4m
   故任意时刻射人电场的粒子，在磁场中运动的射人点与出射点间的距离都相等．
（3）设粒子进入电场时刻，板间的电压为U，且粒子可以射出电场进入磁场．则
         y=，t=
   当侧移量y=时，电场力对粒子做功最多，
       得到U=
       代入解得U=25V
  由动能定理得
    q=-
   解得  vm=
答：（1）粒子在t=0时刻射入，在磁场中运动的射人点到出射点间的距离为0.4m；
    （2）略
    （3）粒子射出电场时的最大速度为．