Question

如图，足够长平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab与导轨垂直且接触良好，导轨右端通过电阻与平行金属板AB连接．已知导轨相距为L；磁场磁感应强度为B；R₁、R₂和ab杆的电阻值均为r，其余电阻不计；板间距为d、板长为4d；重力加速度为g，不计空气阻力．
如果ab杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m、带电量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出；如果ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B板距左端为d的C处．
（1）求ab杆匀速运动的速度大小v；
（2）求微粒水平射入两板时的速度大小v；
（3）如果以v沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab杆向左匀速运动的速度范围．

Answer

（1）ab杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m、带电量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出，此时电场力与重力平衡，可得电场强度数值，进而求得两板间电压，并进而求得感应电动势和棒的速度
（2）ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，粒子将做类平抛运动，由于该微粒将射到B板距左端为d的C处，可求粒子的运动初速度
（3）ab杆向左匀速运动时，电场力与重力方向相反，粒子做类平抛运动，要想使粒子射出电场水平位移应为L，同时竖直位移应该不小于，棒速度较小则向下偏，较大则向上偏，讨论速度的范围
【解析】
（1）带电量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出，此时电场力与重力平衡，设场强为E，则：
mg=Eq①
此时平行板间电压为；
U=Ed②
导体棒感应电动势为：E感=BLv
由电路欧姆定律得：U=E感③
联立以上可得：v=④
（2）ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，平行板间带电粒子所受合力方向向下，大小为；
F=Eq+mg=2mg⑤
粒子做类平抛运动，可知加速度为：
a=2g⑥
打到板的时间为t，则：
=at2⑦
d=vt⑧
联立解得：v=⑨
（3）ab杆向左匀速运动时，电场力与重力方向相反，棒速度较小则向下偏，较大则向上偏，粒子做类平抛运动，若粒子恰好射出电场，在水平位移应为L=4d时间内，同时竖直位移恰为，
故粒子运动时间：
4d=vt1⑩
若向下偏，最小加速度大小为a1，则竖直方向位移为：
a1=（11）
⑦⑧⑩（11）得：（12）
设此时导体棒速度最小为vmin，应有：
a1==g-（13）
解得vmin=，
若导体棒速度最大为vmax，此时粒子向上偏转，应有：
a1===
解得：vmax=
ab杆向左匀速运动的速度范围为＜v＜
答：（1）ab杆匀速运动的速度为
（2）微粒水平射入两板时的速度
（3）ab杆向左匀速运动的速度范围为＜v＜