Question

如图所示，一质量为m=1kg、带电量q=+0.1C的有孔小球，穿在动摩擦因数为μ=0.5的水平横杆的左端，杆长为L=10m，小球具有初速度v=10m/s，同时给小球加一竖直向上的推力F=0.5v（v为小球运动速度）．历时t=2s后小球离开横杆，同时撤去F，整个装置处在水平向里的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，g取10m/s²．
求（1）小球位于棒最左端时的加速度．
（2）整个过程中小球克服摩擦力所做的功．
（3）利用运动的合成与分解，求解小球离开棒后的最大速度及离棒所在直线的最远距离．

Answer

（1）小球位于棒最左端时，竖直方向受力平衡，水平方向受到向左的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）小球向右做变减速运动，采用积分法求出小球离开棒时的速度，再根据功能关系求出整个过程中小球克服摩擦力所做的功．
（3）离开棒后小球受重力和洛伦兹力作用，将初速度进行分解，分析小球的运动情况，再求解小球离开棒后的最大速度及离棒所在直线的最远距离．
【解析】
（1）小球位于棒最左端时，
竖直方向：N+F+qvB=mg         
水平方向：f=μN=ma             
即μ（mg-0.5v-qvB）=ma1
∴a1=2m/s2    方向水平向左    
（2）设小球离开棒时的速度为v1，棒上任一时刻速度为v
μ（mg-0.5v-qvB）=ma            
∑μ（mg-0.5v-qvB）△t=∑ma△t     
∴μmgt-0.5μL-μqBL=m（v-v1）     
∴v1=3m/s，水平向右．                          
小球克服摩擦阻力所做的功 Wf=m（v2-v12）=45.5J  
（3）离开棒后小球受重力和洛伦兹力作用，将初速度分解为v2和v3
其中，qv2B=mg                
∴v2==100m/s，水平向右  
∴v3=97m/s，方向水平向左        
∴小球的运动可分为水平向右以v2=100m/s的匀速直线运动和以v3=97m/s的沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动．
∴小球的最大速度vm=v2+v3=197m/s      
离棒所在直线的最远距离Ym=2R==194m 
答：
（1）小球位于棒最左端时的加速度为a1=2m/s2，方向水平向左．
（2）整个过程中小球克服摩擦力所做的功为45.5J．
（3）小球离开棒后的最大速度是197m/s，离棒所在直线的最远距离为194m．