Question

如图所示，一个可视为质点的物块，质量为m=2kg，从光滑四分之一圆弧轨道顶端由静止滑下，到达底端时恰好进入与圆弧轨道底端相切的水平传送带，传送带由一电动机驱动着匀速向左转动，R=0.8m速度大小为v=3m/s．物块与传送带间的动摩擦因数为．μ=0.1，两皮带轮之间的距离为L=6m，重力加速度g=1Om/s²．求：
（1）物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的作用力；
（2）物块将从传送带的哪一端离开传送带？物块，在传送带上克服摩擦力所做的功为多大？物体与皮带摩擦产生的热量为多大？

Answer

（1）物块滑到圆弧轨道底端的过程中，只有重力做功，机械能守恒，即可求出物块滑到圆弧轨道底端时的速度，在此位置，由重力和轨道的支持力的合力提供滑块的向心力，由牛顿运动定律求解物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的作用力．
（2）物块滑上传送带将作匀减速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出匀减速运动的最大距离sm，与传送带长度L比较，若sm＞L，物块将从传送带的右端离开传送带，物块在传送带上克服摩擦力所做的功为W=μmgL．由运动学公式求出时间，由x=vt求出传送带的位移x，物块相对于传送带的位移为△x=x+L，热量Q=μmg△x．若sm＜L，物块将从传送带的左端离开传送带．
【解析】
（1）物块滑到圆弧轨道底端的过程中，由机械能守恒，得
   mgR=
解得  =4m/s
在轨道的底端，由牛顿第二定律得
   F-mg=m
解得，轨道对物块的支持力F=60N，由牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为60N，方向竖直向下．
（2）物块滑上传送带将作匀减速运动，设匀减速运动的最大距离sm，加速度大小为a，由牛顿第二定律得
   μmg=ma，解得  a=1m/s2
则=8m＞L=6m
可见，物块将从传送带的右端离开传送带．
物块在传送带上克服摩擦力所做的功为W=μmgL=12J．
设物块在传送带滑行时间为t，则L=vt-
代入得  6=4t-0.5t2，解得，t=2s和6s．
当t=6s时，物块的速度为v=v-at=4-1×6（m/s）=-2m/s，表示物块返回，不可能，舍去．
在t=2s时间内传送带的位移大小为x=vt=2×3m=6m，物块相对于传送带的位移为△x=x+L，热量Q=μmg△x=24J．
答：（1）物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的作用力大小为60N，方向竖直向下；
（2）物块将从传送带的右端离开传送带．物块在传送带上克服摩擦力所做的功为12J，物体与皮带摩擦产生的热量为24J．