Question

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S；
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W．

Answer

（1）在棒上升的过程中，环要受到重力的作用，同时由于环向下运动而棒向上运动，环还要受到棒的向上的摩擦力的作用，根据牛顿第二定律列式可以求得加速度的大小．
（2）棒运动的总路程为原来下降的高度H，加上第一次上升高度的两倍，对棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由运动学公式可以求得上升的高度．
（3）整个过程中能量的损失都是由于摩擦力对物体做的功，所以根据能量的守恒可以较简单的求得摩擦力对环及棒做的总功．
【解析】
（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a环，
由牛顿第二定律得：kmg-mg=ma环
解得：a环=（k-1）g，方向竖直向上
（2）设棒第一次落地的速度大小为v1
由机械能守恒得：
解得：
设棒弹起后的加速度为a棒，由牛顿第二定律得：
a棒=-（k+1）g
棒第一次弹起的最大高度为：
解得：
棒运动的路程为：
（3）解法一：
棒第一次弹起经过t1时间，与环达到相同速度v′1
环的速度：v′1=-v1+a环t1
棒的速度：v′1=v1+a棒t1
环的位移：
棒的位移：
环第一次相对棒的位移为：
棒环一起下落至地：
解得：
同理，环第二次相对棒的位移为
…
环相对棒的总位移为：x=x1+x2+…+xn
摩擦力对棒及环做的总功为：
解法二：
设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功为：W=-kmgl
解得：．
答：（1）环的加速度为（k-1）g，方向竖直向上．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程：．
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功．