Question

如图所示为回旋加速器的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上．在D₁盒中心A处有离子源，它产生并发出的a粒子，经狭缝电压加速后，进入D₂盒中．在磁场力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速．为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致．如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出．已知a粒子电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计，设a粒子从离子源发出时的初速度为零．（不计a粒子重力）求：
（1）a粒子第一次被加速后进入D₂盒中时的速度大小；
（2）a粒子被加速后获得的最大动能E_k和交变电压的频率f
（3）a粒子在第n次由D₁盒进入D₂盒与紧接着第n+1次由D₁盒进入D₂盒位置之间的距离△x．

Answer

（1）根据动能定理求出粒子被第一次加速后的速度．
（2）a粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，利用牛顿第二定律求出轨道的半径，当粒子的轨道半径等于D型盒的半径R时，动能最大．根据圆周运动的公式求解粒子圆周运动的频率．粒子要被不断加速，交变电压的频率f必须等于粒子圆周运动的频率．
（3）回旋加速器是利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，根据动能定理求出n次加速后的速度，求出轨道半径，抓住规律，求出△x．
【解析】
（1）设α粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小为v1，根据动能定理有

解得，
（2）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有

解得：
设α粒子的最大动能为Ek，则
   Ek=
解得：Ek=
设交变电压的周期为T、频率为f，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则
交变电压的频率T==
由得
则交变电压的频率
（3）离子经电场第1次加速后，以速度v1进入D2盒，设轨道半径为r1
则  
离子经第2次电场加速后，以速度v2进入D1盒，设轨道半径为r2
则
离子第n次由D1盒进入D2盒，离子已经过（2n-1）次电场加速，以速度v2n-1进入D2盒，由动能定理：

轨道半径 
离子经第n+1次由D1盒进入D2盒，离子已经过2n次电场加速，以速度v2n进入D1盒，由动能定理：

轨道半径：
则△x=2（rn+1-rn）（如图所示）
解得，△x=2（=（-）
答：（1）a粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小是；
（2）a粒子被加速后获得的最大动能Ek是，交变电压的频率f是；
（3）a粒子在第n次由D1盒进入D2盒与紧接着第n+1次由D1盒进入D2盒位置之间的距离△x是（-）．