Question

如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一 竖直平面内，圆弧轨道的圆心为O，半径为R．传送带PC之间的距离为L，沿逆时针方向的运动速度v=．在PO的右侧空间存在方向竖直向下的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C端后返回．物体与传送 带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的机械能损失，重力加速度为g

（1）求物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F
（2）求物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为，试求物体在传送带上运动的时间t．

Answer

（1）物体从A端运动到P端的过程中，只有重力做功，机械能守恒，即可求出物体滑到P端时速度大小．经过P点时，由重力和轨道支持力的合力提供物体的向心力，根据牛顿运动定律求解物体对轨道的压力F．
（2）物体从C端返回时受到向左滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，根据动能定理列出滑块速度与皮带速度相同时通过的距离x表达式，再研究滑块从P到C过程，由动能定理列式，联立求出x，再由机械能守恒定律研究滑块滑上圆弧轨道的过程，求解最大高度H．
（3）在无磁场情况下物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理求出电场强度E．在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，滑块竖直方向上受到竖直向下的重力和电场力，竖直向上的支持力和洛伦兹力作用，随着速度的减小，洛伦兹力减小，滑块所受支持力增大，摩擦力增大，滑块做加速度减小的变减速运动，取一段极短时间△t，根据牛顿第二定律得到速度变化率表达式，运用积分法得到时间t．
【解析】
（1）设物体滑到P端时速度大小为vP，物体从A端运动到P端的过程中，机械能守恒
解得：
设物体滑到P端时受支持力为N，根据牛顿第二定律
解得：N=3mg
设物体滑到P端时对轨道压力为F，根据牛顿第三定律
F=N=3mg
（2）物体到达C端以后受滑动摩擦力，向左做初速度为零的匀加速运动，设向左运动距离为x时物体与皮带速度相同，设物体受到的摩擦力为f，则
   fx=
物体从皮带的P端滑到C端摩擦力做功
-fL=0-
代入得，
解得：x=
即物体在皮带上向左先做匀加速运动一半皮带长度后，与皮带同速向左运动，即再次到达P点时速度大小是v=
根据机械能守恒定律，设在斜面上上升的高度H，则
  mgH=
解得H=
（3）设电场强度为E，在无磁场物体从A端运动到C端的过程中，根据动能定理有 mgR-μ（mg+Eq）L=0-0
解得E=
在有磁场情况下物体从P端运动到C端的过程中，设任意时刻物体速度为v，取一段极短的含此时刻的时间△t，设在此时间段内的速度改变量为△v（取水平向右为正方向）．
根据牛顿第二定律，有 
两边同时乘以△t，再对两边求和得 
而 ，
而，
则
以上结果代入上式，得
化简得    t=
 答：（ 1）物体下滑到P点时，物体对轨道的压力F是3mg．
（2）物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H为．
（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场 （图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为，试求物体在传送带上运动的时间t是．