Question

如图1所示，纸面表示竖直平面，过P点的竖直线MN左侧空间存在水平向右的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，两个电场的电场强度大小相等．一个质量为m、带电量为+q的小球从O点开始以竖直向上的速度v抛出，恰能水平地通过P点，到达P点时的速度大小仍为v．从小球到达P点时起，在空间施加一个垂直纸面向外的周期性变化的磁场，磁感应强度随时间变化的图象如图2所示（其中t₁、t₂为未知的量，），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L．（重力加速度为g）

（1）求OP间的距离；
（2）如果磁感应强度B为已知量，试写出t₁的表达式；（用题中所给的物理量的符号表示）
（3）如果小球从通过P点后便始终能在电场所在空间做周期性运动，但电场存在理想的右边界M'N'（即M'N'的右侧不存在电场），且Q点到M'N'的距离为．当小球运动的周期最大时：
a．求此时的磁感应强度B及小球运动的最大周期T；
b．画出小球运动一个周期的轨迹．

Answer

（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，用平均速度表示两个分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律分析得到电场力qE=mg，则知小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．小球恰能竖直向上经过Q点，画出轨迹，可知：，可求出t1的表达式．
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求解磁感应强度B及周期．
【解析】
（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，令运动时间为t，由运动学规律有 
水平位移 
竖直位移 
所求OP间距离
（2）设电场强度的大小为E，考虑小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律竖直方向：0=v-gt
水平方向：v=at
         a=
可得：qE=mg
上式表明，小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．
设小球在磁场中做圆周运动的周期为T，若竖直向上通过Q点，由图（1）问分析可知必有以下两个条件：

  vt1-L=R，
其中R为圆周运动的轨道半径．
由牛顿第二定律和圆周运动规律有：

解得：
（3）a．小球运动的速率始终不变，当R变大时，T也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，为使小球从通过P点后能做周期性运动，需满足t1=t2．
有：
解得：
而
可知小球在电场中运动的最大周期：
b．答图如图2所示

答：
（1）OP间的距离是；
（2）如果磁感应强度B为已知量，t1的表达式是+；
（3）磁感应强度B是，小球运动的最大周期T为；