Question

荡秋千是一项古老的运动，设某人的质量为m，身高为H，站立时重心离脚底H/2，蹲下时重心离脚底H/4，绳子悬挂点到踏板的绳长为6H，绳子足够柔软且不可伸长，绳子和踏板的质量不计，人身体始终与绳子保持平行，重力加速度为g．
（1）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ弧度，由静止释放，忽略空气阻力，求摆至最低点时绳中的拉力大小；
（2）若该人在踏板上保持站式，由伙伴将其推至摆角θ₁弧度，由静止释放，摆至另一侧最大摆角为θ₂弧度，设空气阻力大小恒定，作用点距离脚底为H/3，求空气阻力的大小．
（3）若该人在踏板上采取如下步骤：当荡至最高处时，突然由蹲式迅速站起，而后缓缓蹲下，摆至另一侧最高处时已是蹲式，在该处又迅速站起，之后不断往复，可以荡起很高．记此法可以荡起的最大摆角为θ_m 弧度，假设人的“缓缓蹲下”这个动作不会导致系统机械能的损耗，而且空气阻力大小和作用点与第（2）问相同，试证明：．

Answer

（1）人在摆动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求最低点速度，再根据重力和拉力的合力提供向心力列式求拉力；
（2）先计算出人从一侧最高点到另一侧最高点过程中机械能的减小量，然后根据大小恒定的变力做功的表达式W=FS计算出克服阻力做功等于阻力与路程的乘积；
（3）对人运动一个周期的过程进行分析，克服阻力做功等于阻力与路程的乘积，人做功补偿的机械能等于人站起而使重力势能增加的量，列方程求解．
【解析】
（1）设荡至最低点时速度为v，则由机械能守恒定律有

设拉力为F，则由牛顿第二定律

求得F=3mg-2cosθ
即摆至最低点时绳中的拉力大小3mg-2cosθ．
（2）全程损耗的机械能为

空气阻力做的功为

由功能关系有Wf=△E机
求得
即空气阻力的大小为．
（3）在一个周期内，通过“迅速站起”获得的机械能（重力势能）是
空气阻力做的功是
由功能关系有Wf=△E机
求得，得证．