Question

一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ=45°）、锁槽E，以及连杆、锁头等部件组成，如图1所示．设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的摩擦因数均为μ，最大静摩擦力f_m由f_m=μN（N为正压力）求得．有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁），此刻暗锁所处的状态的俯视图如图2所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x．

（1）试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向
（2）求此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？

Answer

（1）锁舌有向左运动的趋势，故下表面受的摩擦力为静摩擦力，方向向右．
（2）对锁舌进行受力分析，根据平衡条件分别在互相垂直的方向上列方程，在根据摩擦力计算公式fm=μN，联立方程组求解．
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，说明正压力N无穷大，根据N的表达式求解μ即可．
【解析】
（1）设锁舌D的下表面所受到的最大静摩擦力为f1，其方向向右，如图所示．
（2）设锁舌D受到锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为N，下表面的正压力为F，弹力为kx，由平衡条件：
kx+f1+f2cosθ-Nsinθ=0
F-Ncosθ-f2sinθ=0
又f1=μF
f2=μN
联解上述方程得：

（3）令N趋向于无穷大，则有
1-2μ-μ2=0
解得μ==0.41
答：（1）自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右．
（2）此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为．
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少为0.41．