Question

如图，在0≤x≤d的空间，存在垂直xOy平面的匀强磁场，方向垂直xOy平面向里．y轴上P点有一小孔，可以向y轴右侧垂直于磁场方向不断发射速率均为v、与y轴所成夹角θ可在0～180范围内变化的带负电的粒子．已知θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，不计重力及粒子间的相互作用．求：
（1）磁场的磁感应强度；
（2）若θ=30°，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角（可用三角函数、根式表示）；
（3）能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积（可用根式表示）．

Answer

（1）根据θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由几何关系确定已知长度与轨道半径的关系，从而根据半径公式，可求出磁场的感应强度．
（2）由已知入射角与半径的长度，根据几何关系，借助于三角形的正弦定理，可确定粒子射出磁场时与磁场边界的夹角．
（3）根据不同的入射速度方向，画出两种临界状态：一是沿着正y轴方向入射的轨迹；另一是与磁场右边界相切的轨迹．并由几何公式求出经过的区域面积．
【解析】
（1）当θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，
由几何关系可得，d=Rcos45°
解得：
粒子仅在洛伦兹力作用下，则有：
所以，
（2）根据半径的大小与入射角30°，可画出右图，
△AMd中，∠MdA=60°，AM=R，Ad=，
则三角形正弦定理可得，，
设粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为β，则有=
所以
（3）根据不同的入射速度方向，画出两种临界状态：一是沿着正y轴方向入射的轨迹；另一是与磁场右边界相切的轨迹
因此能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积=图上方的扇形面积+下方菱形面积+右边的三角形面积-下方的扇形面积
=下方菱形面积面积+右边的三角形面积．
即有：