Question

有一个质量为m的小圆环瓷片最高能从h=0.18m高处静止释放后直接撞击地面而不被摔坏．现让该小圆环瓷片恰好套在一圆柱体上端且可沿圆柱体下滑，瓷片与圆柱体之间的摩擦力f=4.5mg．如图所示，若将该装置从距地面H=4.5m高处从静止开始下落，瓷片落地恰好没摔坏．已知圆柱体与瓷片所受的空气阻力都为自身重力的k=0.1倍，圆柱体碰地后速度立即变为零且保持竖直方向．g=10m/s²．求：

（1）瓷片直接撞击地面而不被摔坏时的最大着地速度v₀；

（2）瓷片随圆柱体从静止到落地的时间t和圆柱体长度L．

Answer

（1）瓷片直接撞击地面而不被摔坏时的最大着地速度为1.8m/s；

（2）瓷片随圆柱体从静止到落地的时间t为1.2s和圆柱体长度L为1.08m．

【解析】

试题分析：（1）由已知小圆环瓷片最高能从h=0.18m高处静止释放后直接撞击地面而不被摔坏，由牛顿第二定律求瓷片的加速度，由运动学公式求得瓷片落地时的速度；

（2）先由牛顿第二定律和运动学公式求得圆柱体落地时瓷片的速度和时间，然后对瓷片受力分析，根据牛顿第二定律求瓷片圆柱体停止后瓷片下落的加速度，进而由速度时间公式求出瓷片继续下落的时间．通过运动学求出柱体落地时的速度，再利用牛顿第二定律求出瓷片的加速度，即可求的柱体的长度；

【解析】
（1）瓷片从h高处下落不被摔坏，设加速度为a0，有：mg﹣kmg=ma0 ①

②

联解①②并代入数据得：v0=1.8m/s ③

（2）由题意知瓷片下落分为两个阶段：

瓷片先随圆柱体一起加速下落H，设共同加速度为a1，下落时间t1，圆柱体落地时瓷片速度v1，则：（M+m）g﹣k（M+m）g=（M+m）a1 ④ ⑤ ⑥

圆柱体落地后，瓷片继续沿圆柱体减速下落直到落地，设加速度大小为a2，下落时间t2，则：kmg+f﹣mg=ma2 ⑦v1﹣a2t2=v0 ⑧t=t1+t2 ⑨ ⑩

联解④⑤⑥⑦⑧⑨⑩并代入数据得：

t=1.2s ⑪

L=1.08m ⑫

答：（1）瓷片直接撞击地面而不被摔坏时的最大着地速度为1.8m/s；

（2）瓷片随圆柱体从静止到落地的时间t为1.2s和圆柱体长度L为1.08m．

【点评】本题属于实际问题，很好考查了牛顿第二定律和运动学公式的应用，为已知受力情况求解运动情况的类型，加速度是将力与运动联系起来的桥梁．