Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨 道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍．取g=10m/s²．

（1）H的大小？

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．

（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

Answer

（1）10m

（2）见解析

（3）17.3m/s

【解析】

试题分析：（1）设小球通过D点的速度为v，根据向心力公式列出方程，小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，可解得H的高度；

（2）先求出0点的最小速度，然后根据机械能守恒定律得到要到达0点需要从多高的地方下落，把这个高度和H进行比较即可解题；

（3）先求出小球由H落下通过O点的速度，小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据几何关系即可求解．

【解析】
（1）设小球通过D点的速度为v，则有：

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有mg（H+）=

可得高度H=

（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc，有

小球至少应从Hc高处落下，mg

解得 由H＞HC，小球可以通过O点．

（3）小球由H落下通过O点的速度为

小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有

x=v0t

y=

且x2+y2=R2

可解得时间t=1s （另解舍弃）

落到轨道上速度的大小v=

【点评】整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．