Question

如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．（重力加速度为g）

（1）求小物块下落过程中的加速度大小；

（2）求小球从管口抛出时的速度大小；

（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于L．

Answer

（1）求小物块下落过程中的加速度大小是；

（2）求小球从管口抛出时的速度大小是；

（3）见解析

【解析】

试题分析：开始时小球沿斜面向上做匀加速，小物块向下也做匀加速，两者的加速度大小相等．对各自受力分析，运用牛顿第二定律列出等式，解出方程．

小物块落地静止不动，小球继续向上做匀减速运动，对其受力分析，运用牛顿第二定律解出此时的加速度（与前一阶段加速度不等），结合运动学公式求出小球从管口抛出时的速度大小．

运用平抛运动的规律表示出小球平抛运动的水平位移，利用数学知识证明问题．

【解析】
（1）设细线中的张力为T，对小球和小物块各自受力分析：

根据牛顿第二定律得：

对M：Mg﹣T=Ma

对m：T﹣mgsin30°=ma

且M=km

解得：a=

（2）设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．

根据牛顿第二定律有：﹣mgsin30°=ma0

对于m匀加速直线运动有：v2=2aLsin30°

对于小物块落地静止不动，小球m继续向上做匀减速运动有：v2﹣v02=2a0L（1﹣sin30°）

解得：v0=（k＞2）

（3）平抛运动x=v0t Lsin30°=gt2

解得x=L

因为＜1，所以x＜L，得证．

答：（1）求小物块下落过程中的加速度大小是；

（2）求小球从管口抛出时的速度大小是；

【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律．

要注意第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的m加速度不相等．

第（3）问中，因为，所以