Question

图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O′，O′N′=ON=d，P为靶点，O′P=kd（k为大于1的整数）．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U．质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域（含N′点）或外壳上时将会被吸收．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过．忽略相对论效应和离子所受的重力．

求：

（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；

（2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；

（3）打到P点的能量最大的离子在磁场汇总运动的时间和在电场中运动的时间．

Answer

（1）；

（2）（n=1，2，3，4，…，k2﹣1）；

（3）； h．

【解析】【解析】
（1）在电场中的直线加速过程，根据动能定理，有：

qU= ①

在磁场中，根据牛顿第二定律，有：

②

联立解得磁感应强度大小：

B= ③

（2）在电场中的第一次直线加速过程，根据动能定理，有：

qU= ④

在磁场第一次圆周运动过程中，根据牛顿第二定律，有：

⑤

其中： ⑥

离子经过电场加速n次后能打到P点，则：

在电场中的前n次直线加速过程，根据动能定理，有：

nqU= ⑦

在磁场中第n次圆周运动过程，根据牛顿第二定律，有：

⑧

其中： ⑨

联立解得：B=（n=1，2，3，4，…，k2﹣1）

（3）在电场中n次运动都是加速，可以当作一个匀加速直线运动进行考虑；

根据⑦式，最大速度为：v=

根据动量定理，有：qt=mv

打到P点的能量最大的离子加速次数最大，为：

n=k2﹣1

联立解得：

t=h

在磁场中做圆周运动，为（n﹣）圈，即（k2﹣）圈；

周期：T=

根据⑨式，Bn=

故在磁场中的运动时间为：

t′=（k2﹣）

联立解得：

t′=

答：（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小为；

（2）能使离子打到P点的磁感应强度磁感应强度的可能值为：（n=1，2，3，4，…，k2﹣1）；

（3）在磁场中运动的时间为；在电场中运动的时间为h．

【点评】本题是回旋加速器的改进，电场方向不需要周期性改变，关键是明确粒子的运动规律，然后结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解．