Question

如图所示在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，取g=10m/s²，且弹簧长度忽略不计，求：

（1）小物块的落点距O′的距离；

（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

Answer

（1）2R；

（2）mgR+μmgL

【解析】

试题分析：（1）小物块被弹出恰好能够运动到圆弧轨道的最高点A时，由重力提供向心力，列式可求出小物块在圆弧顶端A处速度大小，再根据平抛运动的知识求水平位移知小物块的落点距O′的水平距离；

（2）小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律列式，小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程由功能关系列式，小物块释放前弹簧具有的弹性势能就等于小物块被弹出时的动能，联立方程即可求解．

【解析】
（1）设小物块被弹簧弹出时的速度大小为v1，到达圆弧轨道的最低点时速度大小为v2，到达圆弧轨道的最高点时速度大小为v3，因为小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点，故向心力刚好由重力提供，有：

=mg…①

小物块由A射出后做平抛运动，由平抛运动的规律有：

x=v3t…②

2R=gt2…③

联立①②③解得：x=2R，

即小物块的落点距O′的距离为2R

（2）小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得：

mv=mg×2R+mv…④

小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程由功能关系得：

mv=mv+μmgL…⑤

小物块释放前弹簧具有的弹性势能就等于小物块被弹出时的动能，故有：

Ep=mv…⑥

由①④⑤⑥联立解得：Ep=mgR+μmgL．

答：（1）小物块的落点距O′的距离为2R；

（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能为mgR+μmgL．

【点评】本题是圆周运动、平抛运动与机械能守恒定律和动能定理的综合应用，关键分析物块在最高点和最低点的向心力来源，判断能量如何转化，再列式求解．综合型较强，难度中等．