Question

据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放﹣个小球（引力视为恒力），经时间t落到地面．已知该行星半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，求：

（1）该行星的平均密度ρ

（2）该行星的第一宇宙速度v；

（3）如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面的高度h为多少．

Answer

（1）；

（2）；

（3）

【解析】

试题分析：（1）先根据自由落体运动的公式h=求解重力加速度g；对卫星，根据万有引力等于向心力列式求解星球质量；最后根据密度的定义公式求解星球的密度；

（2）对近地卫星，根据重力等于万有引力列式求解该行星的第一宇宙速度；

（3）对同步卫星，根据万有引力等于向心力列式求解．

【解析】
（1）设行星表面的重力加速度为g，对小球，有：

，

解得：

对行星表面的物体m，有：

，

故行星质量：

故行星的密度：

（2）对处于行星表面附近做匀速圆周运动的卫星m，由牛顿第二定律，有：

故第一宇宙速度为：

（3）同步卫星的周期与星球自转周期相同，为T，由牛顿第二定律，有：

得同步卫星距行星表面高度：

答：（1）该行星的平均密度ρ为；

（2）该行星的第一宇宙速度v为；

（3）如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面的高度h为．

【点评】解答此题要清楚星球表面的物体受到的重力等于万有引力，星球的同步卫星所受的万有引力提供向心力．