Question

一根细杆弯制成如图所示的轨道，固定在竖直面内，BD为光滑的半圆形轨道，轨道半径R=1m，AB为粗糙水平轨道，A与B相距L=10m，一质量m=0.2kg的小环套在水平轨道上的A点，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.1．现用一水平恒力F向右拉小环，已知F=2N，当小环运动到某点C时撤去该力（C点位于AB之间），设C点到A点的距离为x．在圆轨道的最高点D处安装一力传感器，当小环运动到D点时传感器就会显示环对轨道弹力大小的读数F_N，力传感器所能承受的最大作用力大小为18N，g取10m/s²．

（1）当x=4.2m时，小环运动到圆轨道上的B点时速度是多大？

（2）要使小环能够通过圆轨道的最高点D且保证力传感器安全，求x的范围；

（3）在满足（2）问的情况下，在坐标系中作出力传感器的读数F_N与x的关系图象（不要求写出作图过程）．

Answer

（1）8m/s；

（2）3m≤x≤8m；

（3）FN与x的关系图象如图所示．

【解析】

试题分析：（1）由动能定理可以求出小球到达B点时的速度．

（2）小球在圆轨道上做圆周运动，由牛顿第二定律求出小球在D点的最大与最小速度，然后由动能定理求出x的最大与最小距离，然后确定x的范围．

（3）根据（2）的计算结果，作出FN﹣x图象．

【解析】
（1）从A到B，由动能定理得：

Fx﹣μmgL=mvB2﹣0，解得vB=8m/s；

（2）当小环恰能到达D点时，

设AC间的最小距离为x1，此时vD=0，

从A到D过程，由动能定理得：

Fx1﹣μmgL﹣mg•2R=0﹣0，解得x1=3m；

当小环到达D点且受到轨道弹力FN=18N时，

设AC间最大距离为x2，此时FN，

由牛顿第二定律得：FN+mg=m ①，

从A到D过程中，由动能定理得：

Fx2﹣μmgL﹣mg•2R=mvD2﹣0 ②，

由①②解得x2=8m；

所以x的范围为：3m≤x≤8m；

（3）力与xd的关系图象如图所示．

答：（1）小球到达B点时的速度为8m/s；

（2）x的范围为：3m≤x≤8m；

（3）FN与x的关系图象如图所示．

【点评】小球在竖直圆环形轨道上做圆周运动，小球在最高的速度应大于等于0；应用动能定理与牛顿第二定律即可正确解题．