Question

如图所示，在距水平地面高h₁=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能E_p．现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度v₁向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面的高h₂=0.6m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.8m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空气阻力忽略不计．试求：

（1）小物块由A到B的运动时间．

（2）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能E_p．

（3）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，且只会发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．

Answer

（1）小物块由A到B的运动时间是0.346s．

（2）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能Ep是2J．

（3）μ的取值范围：≤μ＜

【解析】

试题分析：首先要清楚物块的运动过程，A到B的过程为平抛运动，已知高度运用平抛运动的规律求出时间．

知道运动过程中能量的转化，弹簧的弹性势能转化给物块的动能．

从A点到最后停在轨道CD上的某点p，物块的动能和重力势能转化给摩擦力做功产生的内能．

根据能量守恒列出能量等式解决问题．由于p点的位置不确定，要考虑物块可能的滑过的路程．

解；（1）小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，

小物块由A运动到B的时间为：t==s=s≈0.346s

（2）根据图中几何关系可知：h2=h1（1﹣cos∠BOC），

解得：∠BOC=60°

根据平抛运动规律有：tan60°=，

解得：v1===2m/s

根据能的转化与守恒可知，原来压缩的弹簧储存的弹性势能为：

Ep=mv12==2J

（3）依据题意知，①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度趋于零，根据能量关系有：

mgh1+Ep＞μmgL

代入数据解得：μ＜

②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，设物块碰前在D处的速度为v2，

由能量关系有：mgh1+Ep=μmgL+mv22

第一次碰墙后返回至C处的动能为：EkC=mv22﹣μmgL

可知即使μ=0，有：

mv22=14J

mv22=3.5J＜mgh2=6J，小物块不可能返滑至B点．

故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，

因此有：mv22≤2μmgL，

联立解得：μ≥

综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值：≤μ＜

答：（1）小物块由A到B的运动时间是0.346s．

（2）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能Ep是2J．

（3）μ的取值范围：≤μ＜．