Question

如图所示，固定的光滑平台左端固定有一光滑的半圆轨道，轨道半径为R，平台上静止放着两个滑块A、B，其质量m_A=m，m_B=2m，两滑块间夹有少量炸药．平台右侧有一木板，静止在光滑的水平地面上，木板质量M=3m，板面与平台的台面等高，板面粗糙，动摩擦因数μ=0.2，右侧地面上有一立桩，立桩与木板右端的距离为s，当木板运动到立桩处立即被牢固粘连．点燃炸药后，滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D，滑块B冲上木板．两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度为g．求：

（1）炸药爆炸后滑块A的速度大小v_A

（2）炸药爆炸后滑块B的速度大小v_B．

（3）①若s足够长，要使滑块B能与木板相对静止，则木板长度L至少为多少？

②若木板长度L=2R，立桩与木板右端的距离s可调整，调整范围为0﹣2R，请讨论滑块B在木板上运动的过程中，克服摩擦力做的功W_f与s的关系．

Answer

（1）炸药爆炸后滑块A的速度大小vA为．

（2）炸药爆炸后滑块B的速度大小vB是．

（3）①若s足够长，要使滑块B能与木板相对静止，则木板长度L至少为R．

②（a）当0＜s＜R叶，木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速，滑块B克服摩擦力做功为0.4mg（2R+s）．

（b）当R＜s＜2R时，木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连．滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为1.1mgR．

【解析】

试题分析：（1）以水平向右为正方向，设爆炸后滑块A的速度大小为vA，

滑块A在半圆轨道运动，设到达最高点的速度为vAD，

由牛顿第二定律得：mAg=mA，

解得：vAD=

滑块A在半圆轨道运动过程中，由动能定理可得：

﹣mAg•2R=mAvAD2﹣mAvAC2，

解得：vA=vAC=

（2）A、B爆炸过程中动量守恒，以B的速度方向为正方向，

由动量守恒定律得：mBvB﹣mAvA=0

解得：vB=；

（3）①当滑块B与小车共速，设此速度为v，

整个过程中，由动量守恒，以B的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：

2mvB=（2m+3m）v

对木板和滑块B组成的系统，由能量守恒定律得

μ•2mgs相对=•2mvB2﹣（2m+3m）v2；

解得：s相对=R

即木板的最小长度 Lmin=s相对=R

②对木板研究，由动能定理得

μ•2mgs=•3mv2﹣0；

得 s车=R（滑块B与木板相对静止时，木板的位移大小）

共速后，木板与立桩粘连后，若滑块B在板上做匀减速运动直到停下，其位移为

s′==R＞（2R﹣R）=R，即这种情况下滑块会脱离木板

（a）当0＜s＜R叶，木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速．

分析可知，滑块会滑离木板，滑块B克服摩擦力做功为

Wf=μ•2mg（L+s）=0.4mg（2R+s）

（b）当R＜s＜2R时，木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连

木板与滑块B共速后到碰到立桩之前，滑块B与木板之间无摩擦力

滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为：

Wf1=μ•2mg（s车+L）=0.4mg（R+2R）=1.1mgR；