Question

如图甲所示，倾角θ=37°的粗糙斜面固定在水平面上，斜面足够长．一根轻弹簧一端固定在斜面的底端，另一端与质量m=1.0kg的小滑块（可视为质点）接触，滑块与弹簧不相连，弹簧处于压缩状态．当t=0时释放滑块．在0～0.24s时间内，滑块的加速度a随时间t变化的关系如图乙所示．已知弹簧的劲度系数k=2.0×10²N/m，当t=0.14s时，滑块的速度v₁=2.0m/s．g取l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．弹簧弹性势能的表达式为E_p=kx²（式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）．求：

（1）斜面对滑块摩擦力的大小f；

（2）t=0.14s时滑块与出发点间的距离d；

（3）在0～0.44s时间内，摩擦力做的功W．

Answer

（1）斜面对滑块摩擦力的大小f为4.0N；

（2）t=0.14s时滑块与出发点间的距离d为0.20m；

（3）在0～0.44s时间内，摩擦力做的功W为﹣1.64J

【解析】

试题分析：（1）当t1=0.14s时，滑块与弹簧开始分离，此后滑块受重力、斜面的支持力和摩擦力，滑块开始做匀减速直线运动．

由题中的图乙可知，在这段过程中滑块加速度的大小为：a1=10m/s2．

根据牛顿第二定律有：mgsinθ+f=ma1

代入数据解得：f=4.0N

（2）当t1=0.14s时弹簧恰好恢复原长，所以此时滑块与出发点间的距离d等于t0=0时弹簧的形变量x，所以在0～0.14s时间内弹簧弹力做的功为：

W弹=Ep初﹣Ep末=．

在这段过程中，根据动能定理有：W弹﹣mgdsinθ﹣fd=mv12﹣0

代入数据解得：d=0.20 m

（3）设从t1=0.14s时开始，经时间△t1滑块的速度减为零，则有：

△t1==0.20s

这段时间内滑块运动的距离为：

x1==0.20m

此时t2=0.14s+△t1=0.34s，此后滑块将反向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可求得此时加速度的大小为：

a2==2.0m/s2

在0.34s～0.44s（△t2=0.1s）时间内，滑块反向运动的距离为：x2=△t22

代入数据解得：x2=0.01m．

所以在0～0.44s时间内，摩擦力f做的功为：W=﹣f（d+x1+x2）

代入数据解得：W=﹣1.64J．

答：（1）斜面对滑块摩擦力的大小f为4.0N；

（2）t=0.14s时滑块与出发点间的距离d为0.20m；

（3）在0～0.44s时间内，摩擦力做的功W为﹣1.64J．