Question

如图，在长直公路上有A、B、C三个点，x_AB=146m，x_BC=119m，B处为一个受信号灯管控的节点，信号灯每10s一次在红灯和绿灯之间转换，亮红灯时车辆不准通过，亮绿灯时车辆准许以不超过v₁=10m/s的速度通过，ABC全路段的行驶速度均不得超过v₂=20m/s．现有一辆特种汽车，该汽车在水平道路上行驶时，只有匀速、匀加速、匀减速三个模式可供转换，在匀加速和匀减速过程中加速度大小均被设定为a=1.0m/s²，匀速行驶的速度大小可在0至v₃=25m/s之间选择．当t=0时，绿灯正好亮起，此时汽车停在A处，欲驶往C处，要求汽车尽早安全到达且停在C处．本题中汽车可视为质点．则：

（1）汽车应该在什么时刻通过B节点？通过B节点时的速度大小应该是多少？

（2）汽车最早在什么时刻到达且停在C处．

Answer

（1）20s 10m/s． （2）36s

【解析】试题分析：（1）先考虑从A到B的最快时间：若全加速：代入数据得：

超出了B处v1=10m/s的限制，且到达B处时是红灯，所以此法不可以． （2分）

若先加速至v，再减速至v1=10m/s：

则加速时的位移为：可得（1分）

那么再从v减速至v1=10m/s时的位移为:可得（1分）

由位移间的关系：

代入数据得v=14m/s，既未超v2=20m/s，也未超v3=25m/s，

所需时间为则：，其中，，代入数据得，

此时B处还是红灯．所以通过B节点的最早时刻应该是=18s+2s=20s， （2分）

且此时的速度大小应该是vB=10m/s． （1分）

(2)以前问为基础，当=20s时汽车以vB=10m/s安全通过B节点后，设先加速到v′，再减速至零刚好安全停在C处：从vB加速至时的位移为： 则有可得（1分）

从再减速至零刚好安全停在C处位移为： 则有可得（1分）

位移间关系：代入数据得：得v′=13m/s，既未超v2=20m/s，也未超v3=25m/s．

所需要时间为则：其中（2分）

代入数据得：此时（1分）

考点：匀变速直线运动的位移与时间的关系、速度与时间的关系．

【名师点睛】解决本题的关键理清汽车的运动规律，结合匀变速直线运动的运动学公式灵活求解，注意在计算时要考虑速度是否超速（1）先判断出全加速时不可以通过B节点，通过先加速后减小至10m/s到达B节点，结合位移关系，运用速度位移公式求出加速的末速度，判断出未超过最大速度，结合速度时间公式求出A到B的时间，通过信号灯的周期得出通过B节点的时间，得知通过B节点的速度．

（2）从B点出发，当汽车先加速，然后做减速运动，抓住总位移的大小求出最大速度，判断是否超速，再结合速度时间公式求出BC段的时间，得出总时间的大小．