Question

摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图甲所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的．已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a－t图象如图乙所示．电梯总质量m＝2.0×10³ kg.忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s².

（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；

（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v－t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图乙所示的a－t图象，求电梯在第1 s内的速度改变量Δv₁和第2 s末的速率v₂；

    

（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0～11 s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W．

Answer

（1）2.2×104 N 1.8×104 N （2）0.5 m/s 1.5 m/s （3）2.0×105 W 1.0×105 J

【解析】

试题分析： （1）由牛顿第二定律，有F－mg＝ma

由a－t图象可知，F1和F2对应的加速度分别是

a1＝1.0 m/s2，a2＝－1.0 m/s2，则

F1＝m（g＋a1）＝2.0×103×（10＋1.0） N＝2.2×104 N

F2＝m（g＋a2）＝2.0×103×（10－1.0） N＝1.8×104 N

（2）类比可得，所求速度变化量等于第1 s内a－t图线与t轴所围图形的面积，可得Δv1＝0.5 m/s

同理可得2 s内的速度变化量Δv2＝v2－v0＝1.5 m/s

v0＝0，第2 s末的速率v2＝1.5 m/s

（3）由a－t图象可知，11 s～30 s内速率最大，其值vm等于0～11 s内a－t图线与t轴所围图形的面积，此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率P＝Fvm＝mg·vm＝2.0×103×10×10 W＝2.0×105 W

由动能定理得，总功W＝Ek2－Ek1＝mvm2－0＝×2.0×103×102 J＝1.0×105 J.

考点：牛顿第二定律的应用；动能定理；功率

【名师点睛】本题一要有基本的读图能力，并能根据加速度图象分析电梯的运动情况；二要能运用类比法，理解加速度图象“面积”的物理意义。