Question

如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点。轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数为，原长为L = 2R，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v₀，已知重力加速度为g，则（   ）

A．无论v₀多大，小球均不会离开圆轨道

B．若在则小球会在B、D间脱离圆轨道

C．只要，小球就能做完整的圆周运动

D．只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v₀无关

Answer

ACD

【解析】

试题分析：因弹簧的劲度系数为，原长为，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力（在CD一下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力），所以无论多大，小球均不会离开圆轨道，故A正确，B错误；小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有：，所以只要，小球就能做完整的圆周运动，故C正确；在最低点时，设小球受到的支持力为N，有：，

解得：…①

运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为，设此时的速度为，由机械能守恒有：…②

此时合外力提供向心力，有：…③

联立②③解得：…④

联立①④得压力差为：，与初速度无关，故D正确。

考点：向心力

【名师点睛】该题涉及到的指示点较多，解答中要注意一下几点：正确的对物体进行受力分析，计算出沿半径方向上的合外力，利用向心力公式进行列式；注意临界状态的判断，知道临界状态下受力特点和运动的特点；熟练的判断机械能守恒的条件，能利用机械能守恒进行列式求解。