Question

如图甲所示，质量为Ｍ、长Ｌ＝1.0ｍ、右端带有竖直挡板的木板Ｂ静止在光滑水平面上，一个质量为ｍ的小木块（可视为质点）Ａ以水平速度ｖ₀＝4.0ｍ／ｓ滑上Ｂ的左端，之后与右端挡板碰撞，最后恰好滑到木板Ｂ的左端，已知Ｍ／ｍ＝3，并设Ａ与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞时间可以忽略不计，ｇ取10ｍ／ｓ²．求

（1）Ａ、Ｂ最后速度；
（2）木块Ａ与木板Ｂ之间的动摩擦因数．
（3）木块Ａ与木板Ｂ相碰前后木板Ｂ的速度，再在图乙所给坐标中画出此过程中Ｂ相对地的ｖ－ｔ图线．

Answer

（1）1ｍ／ｓ（2）0.3．（3）图像如图；

【解析】（1）由动量守恒定律，ｍｖ0＝（ｍ＋Ｍ）ｖ′，且有ｍ∶Ｍ＝1∶3，

∴Ａ、Ｂ共同速度ｖ′＝1ｍ／ｓ．

（2）由动能定理，对全过程应有μｍｇ·2Ｌ＝ｍｖ02－（ｍ＋Ｍ）ｖ′2

4μｇＬ＝ｖ02－4ｖ′2

μ＝0.3．

（3）先求Ａ与Ｂ挡板碰前Ａ的速度ｖ10，以及木板Ｂ相应速度ｖ20，取从Ａ滑上Ｂ至Ａ与Ｂ挡板相碰前过程为研究对象，依动量守恒与动能定理有以下两式成立：ｍｖ0＝ｍｖ10＋Ｍｖ20，

ｍｖ02－ｍｖ102－Ｍｖ202＝μｍｇＬ．

代入数据得ｖ10＋3ｖ20＝4，

ｖ102＋3ｖ202＝10，

解以上两式可得ｖ10＝（2±3）／2ｍ／ｓ．

因Ａ与Ｂ挡板碰前速度不可能取负值，故ｖ10＝（2＋3）／2ｍ／ｓ．

相应解出ｖ20＝（2－）ｍ／ｓ＝0.3ｍ／ｓ．

木板Ｂ此过程为匀加速直线运动，由牛顿第二定律，得μｍｇ＝Ｍａ1，

ａ1＝1ｍ／ｓ2．

此过程经历时间ｔ1由下式求出ｖ20＝ａ1ｔ1，ｔ1＝0.3（ｓ）．

其速度图线为图中0～0.3ｓ段图线ａ．

再求Ａ与Ｂ挡板碰后，木板Ｂ的速度ｖ2与木块Ａ的速度ｖ1，为方便起见取Ａ滑上Ｂ至Ａ与Ｂ挡板碰撞后瞬间过程为研究对象，依动量守恒定律与动能定理有以下两式成立：

ｍｖ0＝ｍｖ1＋Ｍｖ2，

ｍｖ02－ｍｖ12－Ｍｖ22＝μｍｇＬ．

故解为ｖ1＝（2±3）ｍ／ｓ．

因ｖ1＝（2＋3）ｍ／ｓ为碰前速度，故取ｖ1＝（2－3）ｍ／ｓ，相应得ｖ2＝2＋2ｍ／ｓ＝1.7ｍ／ｓ．

由于ｖ1＜0，即木块相对Ｂ向左滑动，Ａ受Ｂ摩擦力向右，Ｂ受Ａ摩擦力向左，故Ｂ做匀减速直线运动，加速度大小由牛顿第二定律，得ａ＝μｍｇ／Ｍ＝1ｍ／ｓ2．

从碰后到Ａ滑到Ｂ最左端过程中，Ｂ向右做匀减速直线运动时间设为ｔ2，则

ｖ′-ｖ2＝-ａｔ2，∴ｔ2＝0.7ｓ．

此过程速度图线如图中0.3ｓ～1.0ｓ段图线ｂ．

点睛：题要分析清楚物体运动过程，知道系统遵守动量守恒定律与能量守恒定律．要注意摩擦生热等于滑动摩擦力与相对路程的乘积．