Question

阅读下面的文字，完成下列小题。

数学归纳法与《道德经》

张奠宙

数学，犹如雨后初霁的天空，一尘不染，阳光万里，然而未免稍觉单调。人文则如漫天云彩，白云苍狗，丰富多变，又会令人眼花缭乱。若得二者相配，蓝天白云，何等赏心悦目？那么，设想数学与人文之间如能获得沟通，又将会出现怎样的深邃意境呢？

数学归纳法在古希腊数学中已有萌芽。但真正作为一种重要的数学方法，是19世纪皮亚诺提出“自然数公理”前后的事情。现在，纯西方的“数学归纳法”真的遇上了《道德经》以及《愚公移山》等东方经典故事。

如今高中课程中的数学归纳法，目标是要证明对所有的自然数n，命题P(n)都成立，一个也不能少。教学中，则常以多米诺骨牌作喻。意思是，推倒第一块，接着便会推倒第二块、第三块，直至成千上万块。然而，多米诺骨牌无论制作得怎样精致，总有结束的时候。能够推倒的，毕竟只是有限块。可是数学归纳法所要面对的是自然数全体，要求从有限跨入无限的大门。如此看来，多米诺骨牌对数学归纳法来说，只是形似，没有神似，差得很远呐。

于是，中国经典《道德经》登场了。“道生一，一生二，二生三，三生万物”，这十三个汉字，尽显无限本色。原来，所谓“万物”泛指的“无限”，乃是不断“生”出来的啊。更进一步，“愚公移山”故事里的一段妙语构造了一个“生生不息”的无限思维模型。愚公说：“

虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”

这里，愚公高调宣布了用“无限”战胜“有限”的胜利。既然愚公家族的序列可以做到“无穷匮”，那么用于任何命题列P（n）行不行呢？这就要看P(n)能不能具有愚公家族序列的特性了。如前所说，愚公模型之所以能达到无限，是因为神话人物愚公自动地获得了他的子孙世世代代必定都能够“生”的特殊保证。至于P(n)的每一代能不能“生”？那就需要检验了。事实上，数学归纳法本身正是在做这样的检验!

首先，数学归纳法的第一步是要验证n=1时P(1)成立。这相当于P(1)的正确性必须像愚公自己一样要能“生”出来，即有子存焉。其次，要验证已经具有正确性的P(n)是否如愚公的每一代子孙那样都能“生”，即对任意的n，由P(n)的正确性能生出P(n+1)是正确性来。一旦这两步都成立了，P(n)的正确性序列能够一代代地“生”出下一代了，就可以像愚公家族一样地达到“无穷匮”，无一例外地全部都成立。

从《道德经》的三生万物，愚公的生生不息，到“野火烧不尽，春风吹又生”，东方经典的无限观一直和“生”联在一起。一个“生”字，终于使得数学归纳法不再神秘。记得在中学课堂上，学生们对那两步检验的来历往往不知所云。如果读了愚公移山的故事，大概就会“会心一笑”，觉得那不过是在进行能不能“生”的检验而已!

这种数学与人文的沟通，初接触时会觉得有些出乎意料，但是细细想想，却又在情理之中了。现在提倡“文理不分”，真希望“文科生”“理科生”，大家都来关注这样的沟通。

（摘选自《教师博览》2017年第4期，有删改）

1.下列各项对“数学归纳法”的论述，不正确的一项是

A. 数学归纳法早在古希腊时期就已有萌芽，现在是一种重要的纯西方的数学方法。

B. 数学归纳法的目标是要证明对所有的自然数n，命题P（n）都成立，一个也不能少。

C. 以多米诺骨牌来比喻数学归纳法，并不恰当。因为多米诺骨牌能推倒的只是有限的块，而数学归纳法面对的自然数全体是无限的，这种比喻虽有形似，却没有神似。

D. “道生一，一生二，二生三，三生万物”，“野火烧不尽，春风吹又生”，与“生”相联的东方经典的无限观用于数学归纳法，终于使得数学归纳法不再神秘。

2.下列理解和分析，不符合原文意思的一项是

A. 数学犹如雨后初霁的天空，稍觉单调，人文则如漫天云彩，令人眼花缭乱。数学与人文之间的沟通相配正如蓝天白云，赏心悦目。

B. 在19世纪皮亚诺提出“自然数公理”前后，数学归纳法已真正成为一种重要的数学方法。

C. 数学归纳法本身是在做检验，第一步是要验证愚公能“生”，即有子存焉；第二步要验证愚公的每一代子孙都能“生”。

D. 《道德经》的“三生万物”，愚公移山的故事，以及“野火烧不尽，春风吹又生”，都有利于中学生理解数学归纳法中的那两步检验的来历。

3.根据原文内容，下列理解和分析不正确的一项是

A. “数学归纳法”碰上《道德经》以及《愚公移山》等东方经典故事，就会擦出思想的火花，让人们体会到深邃的意境。

B. 因为愚公获得了他的子孙世世代代能够“生”的特殊保证，所以愚公家族的序列可以做到“无穷匮”，愚公模型也能达到无限。

C. 《愚公移山》的故事和“野火烧不尽，春风吹又生”的诗句在中国妇儒皆知，所以中国人能很好地掌握数学归纳法这种纯西方的数学方法。

D. 数学与人文的沟通，妙趣横生，意境深邃，会产生意想不到的效果，无论是“文科生”还是“理科生”，都可以作些尝试。

Answer

1.B

2.C

3.C

【解析】

1.试题分析：原文“如今高中课程中的数学归纳法，目标是要证明对所有的自然数n，命题P(n)都成立，一个也不能少”，选项去掉了“如今高中课程中的数学归纳法”这一条件限制，混淆范围。

2.试题分析：原文“数学归纳法的第一步是要验证n=1时P(1)成立”“其次，要验证已经具有正确性的P(n)，即对任意的n，由P(n)的正确性能生出P(n+1)是正确性来”，选项用特例解释数学归纳法，偷换概念。。

3.试题分析：“中国人能很好地掌握数学归纳法这种纯西方的数学方法”无中生有。