已知31名学生参加了某次考试,考试共有10道题,每名学生至少解出了6道题.证明:存在两名学生,他们解出的题目中至少有5道相同.

 

设平面四边形的四边长为四个连续的正整数.证明:四边形面积的最大值不为整数.

 

在图1的多面体中,已知均与平面垂直..求四面体与四面体公共部分的体积(用表示).

 

设正实数满足,证明:.

 

为正整数.把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对,每名选手均不兼项.则配对方式总数为______.

 

为虚数单位),的虚部与的实部均非负.则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积为______.

 

给定定点,动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切.则点的轨迹方程为______.

 

为实数,且关于的方程有实根.的取值范围是______.

 

上具有周期的奇函数,并且,则中至少有____个零点.

 

设平面向量满足.的取值范围是______.

 

.数列的通项公式为______.

 

函数的最小值为______.

 

如图的内角平分线,且.证明:

(1)

(2)

 

集合的一个等浓二分划(即.记集合中所有数的积为,集合中所有数的积为的等浓二分划的特征数.证明:

(1)集合的等浓二分划的特征数一定为合数;

(2)若等浓二分划的特征数不为2的倍数则该特征数为的倍数.

有限集合的元素个数简记为.

 

为定义在上的函数,且满足.对任意的,均有.①

(1)证明为周期函数并确定

(2)计算的值.

 

满足系数为整数,且根为无理数的二次三项式称为无理二次三项式.求所有无理二次三项式中根的绝对值之和的最小值.

 

上的点引三条弦,使得.证明:.

 

实数使得.的最大值为_________.

 

已知均为等腰三角形,.如图,将绕点逆时针方向旋转一个角度的延长线与直线交于点如图.

绕点逆时针方向从旋转到的过程中,点运动的路线长为_________.

 

已知为从小到大排列的前2015个素数,记.则关于的不定方程的正整数解集为_________.

 

在锐角内取点,使得分别为边的中点.的度数为__________.

 

已知函数定义如下:则集合中元素的个数为_________.

 

已知函数.

(1)当时,求函数的最小值;

(2)当时,求证方程在区间上有唯一实数根;

(3)当时,设函数两个不同的极值点,证明:.

 

已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率,且椭圆的短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知直线l1l2过右焦点F2,且它们的斜率乘积为﹣1,设l1l2分别与椭圆交于点A,B和C,D.①求AB+CD的值;②设AB的中点M,CD的中点为N,求△OMN面积的最大值.

 

f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)xaR.

)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

)已知f(x)x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

 

梯形ABCD顶点BC在以AD为直径的圆上,AD=2米,

(1)如图1,若电热丝由ABBCCD这三部分组成,在ABCD上每米可辐射1单位热量,在BC上每米可辐射2单位热量,请设计BC的长度,使得电热丝辐射的总热量最大,并求总热量的最大值;

(2)如图2,若电热丝由弧和弦BC这三部分组成,在弧上每米可辐射1单位热量,在弦BC上每米可辐射2单位热量,请设计BC的长度,使得电热丝辐射的总热量最大.

 

已知向量,向量与向量的夹角为,且.

(1)求向量

(2)设向量,向量,其中,若,试求的取值范围.

 

如图,在四棱锥中,平面,底面是平行四边形,的两个三等分点.

(1)求证平面

(2)若平面平面,求证:.

 

已知函数的图象与直线恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大分别为,则________.

 

在平面直角坐标系中,圆与圆相交于两点,若在直线上存在一点,使成立,则的取值范围为________.

 

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