已知31名学生参加了某次考试，考试共有10道题，每名学生至少解出了6道题.证明：存在两名学生，他们解出的题目中至少有5道相同.

设平面四边形的四边长为四个连续的正整数.证明：四边形面积的最大值不为整数.

在图1的多面体中，已知、、均与平面垂直.设，，，.求四面体与四面体公共部分的体积（用、、表示）.

设正实数、满足，证明：.

设为正整数.把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每名选手均不兼项.则配对方式总数为______.

设（，为虚数单位），的虚部与的实部均非负.则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积为______.

给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切.则点的轨迹方程为______.

设为实数，且关于的方程有实根.则的取值范围是______.

设是上具有周期的奇函数，并且，则在中至少有____个零点.

设平面向量、满足.则的取值范围是______.

设，.数列的通项公式为______.

函数的最小值为______.

如图，、、为的内角平分线，且.证明：

（1）；

（2）

集合、为的一个等浓二分划（即，，且.记集合中所有数的积为，集合中所有数的积为，称为的等浓二分划的特征数.证明：

（1）集合的等浓二分划的特征数一定为合数；

（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为的倍数.

注：有限集合的元素个数简记为.

设为定义在上的函数，且满足.对任意的，均有.①

（1）证明为周期函数，并确定；

（2）计算的值.

满足系数、为整数，且根为无理数、的二次三项式称为无理二次三项式.求所有无理二次三项式中根的绝对值之和的最小值.

由上的点引三条弦、、，使得.证明：.

实数、、使得：和.则的最大值为_________.

已知、均为等腰三角形，，.如图，将绕点逆时针方向旋转一个角度，的延长线与直线交于点，如图.

则绕点逆时针方向从旋转到的过程中，点运动的路线长为_________.

已知为从小到大排列的前2015个素数，记.则关于的不定方程的正整数解集为_________.

在锐角内取点，使得，，、分别为边、的中点.则的度数为__________.

已知函数定义如下：，则集合中元素的个数为_________.

已知函数，，.

（1）当，时，求函数的最小值；

（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；

（3）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.

已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．

设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

梯形ABCD顶点B、C在以AD为直径的圆上，AD=2米，

(1)如图1，若电热丝由AB，BC，CD这三部分组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；

(2)如图2，若电热丝由弧和弦BC这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．

已知向量，向量与向量的夹角为，且.

（1）求向量；

（2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围.

如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两个三等分点.

（1）求证平面；

（2）若平面平面，求证：.

已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则________.

在平面直角坐标系中，圆与圆相交于两点，若在直线上存在一点，使成立，则的取值范围为________.