设函数 ).

(Ⅰ)求函数的单调增区间;

(Ⅱ)当时,记,是否存在整数,使得关于的不等式有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.

 

已知平面内一动点与两定点连线的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;

(Ⅱ)设直线 )与轨迹交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.

 

如图,已知三棱锥中, 的中点, 的中点,且为正三角形.

(Ⅰ)求证: 平面

(Ⅱ)请作出点在平面上的射影,并说明理由.若 ,求三棱锥的体积.

 

某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组,第二组,…,第五组,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为.

(Ⅰ)求的值,并求这50名同学心率的平均值;

(Ⅱ)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为0.8,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.

参考数据:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

参考公式: ,其中

 

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合计

体育生

 

 

20

艺术生

 

 

30

合计

 

 

50

 

 

 

设数列的前项和,数列满足 .

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)求数列的前项和.

 

已知向量 ),若,则的最小值为__________

 

在三棱锥中, 平面 为棱上一个动点,设直线与平面所成的角为,则不大于的概率为__________

 

中,角 的对边分别是 ,已知 ,且,点为边上一点,且,则的面积为__________

 

已知点在直线 上,则__________

 

已知函数),若存在,使得成立,则实数的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

 

已知函数 )的最小正周期是,将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数(    )

A. 有一个对称中心    B. 有一条对称轴

C. 在区间上单调递减    D. 在区间上单调递增

 

已知点是抛物线上的一个动点, 是圆 上的一个动点,则的最小值为(    )

A.     B.     C. 3    D. 4

 

我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和(    )

A.     B.     C.     D.

 

对于函数 ),选取的一组值计算,所得出的正确结果可能是(    )

A. 2和1    B. 2和0    C. 2和-1    D. 2和-2

 

一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形,俯视图是圆心角为的扇形,则该几何体的侧面积为(    )

A. 2    B.     C.     D.

 

若实数 满足不等式组的最小值为(    )

A. 2    B. 3    C.     D. 14

 

已知双曲线 )的渐近线与圆相切,则该双曲线的离心率为(    )

A.     B.     C.     D. 3

 

执行如图的程序框图,若输入的为5,则输出的结果是(    )

A.     B.     C.     D.

 

”是“”的(    )

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

 

已知是实数, 是纯虚数,则(    )

A.     B.     C. 1    D.

 

已知集合,集合,则等于(    )

A.     B.     C.     D.

 

选修4-5:不等式选讲

已知函数 .

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)若,求的取值范围.

 

选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆的极坐标方程为.若以极点为原点,极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求圆的参数方程;

(Ⅱ)在直角坐标系中,点是圆上动点,试求的最大值,并求出此时点的直角坐标.

 

已知函数 .

(Ⅰ)证明: ,直线都不是曲线的切线;

(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围.

 

已知椭圆 )的离心率为 分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆 )的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与抛物线)相交于两点,射线与椭圆分别相交于点.试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.

 

如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, , .

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)设是棱上的点,当平面时,求二面角的余弦值.

 

某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:

质量指标值

等级

三等品

二等品

一等品

 

从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:

(Ⅰ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定?

(Ⅱ)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;

(Ⅲ)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?

 

已知中, .

(Ⅰ)求边的长;

(Ⅱ)设边上一点,且的面积为,求的正弦值.

 

已知各项都为整数的数列中, ,且对任意的,满足 ,则__________

 

已知 ,若向量满足,则的取值范围是__________

 

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