综合与实践 旋转是图形变化的方法之一，借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值...

（1）60°，△BP′P，∠CP′P，150；（2）；（3）；（4）；（5），， 【解析】 （1）根据旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=P′C，∠APB=∠BP′C，即可求出∠BP′P=60°，即可得△BP′P是等边三角形，根据勾股定理的逆定理可得∠CP′P=90°，即可得∠CP′B的度数，根据旋转性质可得∠APB=∠CP′B，即可得∠APB的度数；（2）过C作CH⊥BP′，交BP′的延长线于H，根据含30°角的直角三角形的性质求出CH的值即为最小值；（3）利用勾股定理可求出HP′的长，即可得BH的长，利用勾股定理求出BC的长进而可得答案；（4）由等腰直角三角形的性质可得∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，根据两锐角互余的关系可得∠CBQ=∠ABP，利用SAS可证明△ABP≌△CBQ，进而可得PA=CQ，∠BQC=∠BPA=135°，可得∠PQC=90°，利用勾股定理可求出PC的长，根据余弦的定义即可得答案；（5）连接BD，以B为圆心，1为半径画圆，交BD于P，交AB、BC于E、F，连接DF，则OP为最小值，根据正方形的性质及勾股定理求出DP、DF的值即可；当D、P、Q在同一条直线上时，过B作BM⊥DQ，根据等腰直角三角形的性质可得BM=QM=PQ，利用勾股定理可求出DM的长，进而可得DQ的长，利用三角形面积公式即可得答案. （1）∵△ABP绕点顺时针旋转60°得到△CBP′， ∴BP=BP′=4，∠PBP′=60°，AP=P′C=2，∠APB=∠BP′C， ∴∠BP′P=60°， ∴△BP′P是等边三角形， ∴PP′=BP=4， ∵PC2=(2)2=28，PP′2=42=16，P′C2=(2)2=12， ∴PC2= PP′2+ P′C2， ∴△PP′C是直角三角形，∠CP′P=90°， ∴∠BP′C=∠CP′P+∠BP′P=90°+60°=150°， ∴∠APB=∠BP′C=150°， 故答案为：60°，△BP′P，∠CP′P，150° （2）过C作CH⊥BP′，交BP′的延长线于H， ∵∠BP′C=150°， ∴∠P′HC=180°-150°=30°， ∴CH=P′C=， 故答案为： （3）∵CH=，P′C=PA=2， ∴P′H==3， ∴BC===2， ∴AB=BC=2. （4）∵BP=BQ=1，BQ⊥BP， ∴∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=， ∴∠APB=135°， ∵∠ABP+∠PBC=90°，∠CBQ+∠PBC=90°， ∴∠ABP=∠CBQ， ∵AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BQ=BP， ∴△ABP≌△CBQ， ∴QC=AP=，∠BQC=∠APB=135°， ∴∠PQC=90°， ∴PC==， ∴cos∠PCQ===， 故答案为： （5）如图，连接BD，以B为圆心，1为半径画圆，交BD于P，交AB、BC于E、F，连接DF， ∵BP=1， ∴点P在以B为圆心，1为半径的圆上， ∴DP为最小值， ∵AB=AD=2， ∴BD=2， ∴DP=BD-BP=2-1， ∵BF=1，CD=2， ∴DF=， ∵点P在正方形内， ∴2-1≤DP<， 如图，当D、P、Q在同一条直线上时，过B作BM⊥DQ， ∵BQ=BP=1，BQ⊥BP， ∴BM=QM=PQ=， ∴DM==， ∴DQ=DM+QM=+=， ∴S△BDQ=××=， 故答案为：2-1，，