2005年浙江省宁波市余姚中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若|a-3|-3+a=0，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3
B．a＜3
C．a≥3
D．a＞3

2. 难度：中等

“●、■、▲”分别表示3种不同的物体，如图示．前两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

3. 难度：中等

若a满足不等式组，则反比例函数（x＞0）的图象在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．笫三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（ ）
A．30°
B．50°
C．80°
D．50°或80°

5. 难度：中等

菱形ABCD的两条对角线交于点O．且A0，B0的长分别为方程x²-7x+12=0的两个根，则这个菱形的边长为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．6

6. 难度：中等

一次函数y=（k-3）x+k-1的图象不经过第三象限，则满足条件的整数k的值有（ ）
A．0个
B．l个
C．2个
D．无数个

7. 难度：中等

己知二次函数y=ax²+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（ ）
A．b²-4ac＞0
B．b²-4ac=0
C．b²-4ac＜0
D．b²-4ac≤0

8. 难度：中等

如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

关于x的方程x²-ax+4=0（a＜0）的实数根是x_l、x₂，则的值为（ ）
A．-
B．
C．-2a
D．2a

10. 难度：中等

在半径为4的⊙0中．AB、CD是两条直径，M是OB的中点．CM的延长线交⊙0于点E．若DE=，（EM＞MC）．则sin∠EOM的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为   

12. 难度：中等

已知|a|=5，|b|=3，且a＜b，则2a-3b=    ．

13. 难度：中等

已知圆台的侧面积是l2πcm²，母线长为6cm．圆台的轴截面的中位线的长是    m．

14. 难度：中等

已知a²+b²+4a-2b+5=0，则分解因式ax²+bx+3=    ．

15. 难度：中等

计算：=    ．

16. 难度：中等

如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是    ．

17. 难度：中等

关于x的不等式组：有5个整数解，则a的取值范围是    ．

18. 难度：中等

直角坐标系中．有四个点A（-8.3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，则=    ．

19. 难度：中等

如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB=10，AC=6，则AD=    ．

20. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示．Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ．则a的值为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

（1）计算：
（2）已知，求a²b+ab²代数式的值．

22. 难度：中等

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°．如图．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α至△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，点B在A′B′上，CA′交AB于D．求∠BDC的度数．

23. 难度：中等

已知四边形ABCD内接于圆0，且AD∥BC，试判定四边形ABCD的形状，并说明理由．

24. 难度：中等

当关于x的不等式组无解时，请判断函数y=（3-a）x²-x+的图象与x轴交点的情况，并说明理由．

25. 难度：中等

某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过50度时，按每度0.58元计费；每月用电超过50度时，其中的50度仍按原标准收费，超过部分按每度0.98元计费．
（1）设月用电x度时，应交电费y元．当x≤50和x＞50时，分别写出y关于x的函数关系式；
（2）下表是小敏家第一季度用电和交费的部分信息：

月份	一月份	二月份	三月份	合计
用电数（度）	108
交费金额（元）		66.24		179.92

问小敏家第一季度共用电多少度？

26. 难度：中等

如图，已知：BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=a，
（1）求：sina+cosa的值，
（2）若S_△AEB=S_△ADE，当AF=6时，cot∠BAD的值？

27. 难度：中等

已知，抛物线y=ax²+bx+c，过A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+b经过点C、M两点．且与x轴交于点E．△AEC的面积与△BCM的而积是否相等？如果相等，请给出征明；如果不相等，请说明理由；
（3）点P在此抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为m．①若⊙P与直线CM相切．并且与x轴有交点，求m的取值范围；②若⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，求切点F的坐标．