新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若关于x的方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有    个．

2. 难度：中等

已知关于x的方程（a-1）x²+2x-a-1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有    个．

3. 难度：中等

已知方程x²-1999x+m=0有两个质数解，则m=    ．

4. 难度：中等

给出四个命题：①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax²+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是    ．

5. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（2a-1）x+a²=0（a为整数）的两个实数根是x₁、x₂，则=    ．

二、选择题

6. 难度：中等

已知a，b为质数且是方程x²-13x+c=0的根，那么的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

7. 难度：中等

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

8. 难度：中等

当m为整数时，关于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．

9. 难度：中等

若关于x的方程ax²-2（a-3）x+（a-13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．

10. 难度：中等

设m为整数，且4＜m＜40，方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．

11. 难度：中等

已知关于x的方程a²x²-（3a²-8a）x+2a²-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．

12. 难度：中等

求使关于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值．

13. 难度：中等

当n为正整数时，关于x的方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的两根均为质数，试解此方程．

14. 难度：中等

设关于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

15. 难度：中等

已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，求a的值．

16. 难度：中等

已知p为质数，使二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．

17. 难度：中等

已知方程x²+bx+c=0与x²+cx+b=0各有两个整数根x₁，x₂，和x₁′，x₂′，且x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0．
（1）求证：x₁＜0，x₂＜0，x₁′＜0，x₂′＜0；
（2）求证：b-1≤c≤b+1；
（3）求b，c的所有可能的值．

18. 难度：中等

如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx²-2x-m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．