湖南师大附中博才实验中学2019届九年级（上）第二次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

湖南师大附中博才实验中学构溪湖校区于2018年秋季正式揭牌开学，校区位于麓云路和映日路交汇处西北角，规划用地面积约为62000m²，净用地面积约为51000m²，总建筑面积35819.6m²，办学规模54个班，62000用科学记数法表示为（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

下列运算正确的是（　　）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，将点N（–1，–2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是

A. （1，2）    B. （–1，2）

C. （–1，–2）    D. （1，–2）

5. 难度：中等

对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）

A. 把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理

B. 木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理

C. 将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理

D. 将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理

6. 难度：简单

如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=100°，则∠DCE的大小是（　　）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：简单

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（　　）

A. 58°    B. 60°    C. 64°    D. 68°

8. 难度：中等

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）

A. AC=AB    B. ∠C=∠BOD    C. ∠C=∠B    D. ∠A=∠BOD

9. 难度：中等

如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（　　）

A. 27°    B. 32°    C. 36°    D. 54°

10. 难度：中等

如图，在△ABC 中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB₁C₁，连接 BC₁，则 BC₁ 的长为（        ）

A. 6    B. 8    C. 10    D. 12

11. 难度：中等

《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　）

A. 13寸    B. 20寸    C. 26寸    D. 28寸

12. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为

A. 15°    B. 35°    C. 25°    D. 45°

二、填空题

13. 难度：简单

平面直角坐标系中，点P（-4，2）与P₁关于原点对称，则P₁的坐标是______．

14. 难度：简单

如图，点A，B、C是⊙O上的点，∠AOB=80°，则∠ACB的度数是______．

15. 难度：中等

如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．

16. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．

17. 难度：中等

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．

18. 难度：中等

如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为______．

三、解答题

19. 难度：中等

先化简，再求值：，其中a=+1．

20. 难度：中等

学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．

（1）求A，B两型桌椅的单价；

（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（3）求出总费用最少的购置方案．

21. 难度：简单

计算：-1²+|-|-（）⁰+（-）^-1

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；

（3）判断以O，A₁，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）

23. 难度：困难

在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．

（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．

①求证△ADB≌△AOB；

②求点H的坐标．

（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

24. 难度：困难

如图，AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AC是弦，取弧的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB=10，AC=5时，求CE的长；

（3）连接CD，AB=10．当=时，求DE的长．

25. 难度：困难

如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物找正好经过点O，C，A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，分别过点P，点D作x轴的垂线，交x轴于R，S两点，问：四边形PRSD的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如图2，把点B向下平移两个单位得到点T，过O，T两点作⊙Q交x轴，y轴于E，F两点，若M、N分别为弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．

26. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A（1，0），B（0，），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______；

（2）若点C（2，1），点D在直线y=5上，以CD为边的坐标菱形”为正方形，求育直线CD表达式；

（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m），若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．