北京市海淀区2019届九年级第一学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

抛物线的顶点坐标为(  　　　)

A.     B.     C.     D.

二、解答题

2. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为(　　  )

A.     B.     C.     D.

三、单选题

3. 难度：中等

方程的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根    B. 有两个相等的实数根    C. 无实数根    D. 只有一个实数根

4. 难度：简单

如图，一块含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转到△，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为(　　 )

A. 150°    B. 120°    C. 60°    D. 30°

5. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，B是反比例函数的图象上的一点，则矩形OABC的面积为(　　 )

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（　　）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)

A. (54+10) cm    B. (54+10) cm    C. 64 cm    D. 54cm

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　）

A. y₁    B. y₂    C. y₃    D. y₄

四、填空题

9. 难度：简单

方程的根为       ．

10. 难度：中等

半径为2且圆心角为90°的扇形面积为_______．

11. 难度：中等

已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为_____．

12. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，若函数与 的图象有两个交点，则的取值范围是_____．

13. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，把△缩小得到△.若的坐标为，则点的坐标为_______．

14. 难度：中等

已知，是反比例函数图象上两个点的坐标，且，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．

15. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，点，判断在四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是______．

16. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，⊙的半径为1，直线切⊙于点，则线段的最小值为_______．

五、解答题

17. 难度：中等

计算：．

18. 难度：中等

如图，与交于点，，，，，求的长．

19. 难度：中等

已知x＝n是关于x的一元二次方程mx²﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn²﹣4n+m＝6，求m的值．

20. 难度：中等

近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：

（单位：度）	…	100	250	400	500	…
（单位：米）	…	1.00	0.40	0.25	0.20	…

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；

A．       B．    C．        D．

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．

21. 难度：中等

下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①作射线OP；

②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与⊙A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵ BC是⊙A的直径，

∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．

∴OP⊥PC．

又∵OP是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．

22. 难度：中等

2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离的长．

参考数据：°，°，°，°，°，°．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是．

（1）求的值；

（2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点．

①若，求的值；

②若，结合图象，直接写出的值．

24. 难度：中等

如图1，点C是⊙O中直径AB上的一个动点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，点M是直径AB上一固定点，作射线DM交⊙O于点N．已知AB=6cm，AM=2cm，设线段AC的长度为xcm，线段MN的长度为ycm．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行了探索．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y/cm	4	3.3	2.8	2.5		2.1	2

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）在图2中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AC=MN时，x的取值约为      cm．

25. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB于点D，过B点作AP的垂线交PC于点F．

（1）求证：E是CD的中点；

（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax²-4ax+3a-2（a≠0），其顶点为C，直线l：y=ax-2a+1（a≠0）与x轴、y轴分别交于A，B两点．

（1）当抛物线G的顶点C在x轴上时，求a的值；

（2）当a＞0时，若△ABC的面积为2，求a的值；

（3）若点Q（m，n）在抛物线G上，把抛物线G绕着点P（t，-2）旋转180°，在1≤m≤3时，总有n随着m的增大而增大，请直接写出t的取值范围．

27. 难度：中等

已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

①求证：点在以点为圆心，为半径的圆上.

②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________.

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

图1                         图2

28. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．

（1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为    ；

（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；

（3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为        ，此时点D的坐标为    ．