北京市2019届九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、单选题

1. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

点A（1，y₁），B（3，y₂）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y₁，y₂的大小关系是（　　）

A. y₁＞y₂    B. y₁＝y₂    C. y₁＜y₂    D. 不能确定

3. 难度：中等

（2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　）

A. 2    B. ﹣1    C.     D. 4

4. 难度：简单

为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m³）一定的污水处理池，池的底面积S（m²）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是

A．       B．       C．       D．

5. 难度：中等

如图，若和的面积分别为、，则　　

A.  B.  C.  D. 无法确定

6. 难度：中等

如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB²=AD•AC D. =

7. 难度：简单

如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为

A．12       B．20       C．24      D．32

8. 难度：中等

如图，在菱形纸片ABCD中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则值为　　

A.  B.  C.  D.

二、填空题

9. 难度：简单

若，则________°．

10. 难度：中等

圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是      ．

11. 难度：中等

反比例函数与二次函数的共同性质有______写出一条符合题意的即可

12. 难度：中等

如图，AB是的直径，C、D是圆上的两点，若，，则AB的长为______．

13. 难度：中等

若反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围是______．

14. 难度：中等

如图，在中，，，，则的值为______．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.

 

四、填空题

16. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，的圆心A的坐标为，半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．

17. 难度：中等

阅读下面材料：

小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在CB边上截取，连接如图，通过构造有特殊角的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：______．

参考小天思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等腰 中，，，请借助，构造出的角，并求出该角的正切值．

五、解答题

18. 难度：中等

计算

19. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．

20. 难度：中等

在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的，使得

经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：

分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；

以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于，两点；

连接，，，，

所以，就是所求的角

请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：

使用直尺和圆规补全图形；保留作图痕迹

完成下面的证明：

证明：在中，连接OA，OB，

为等边三角形______填推理的依据

，

______填推理的依据

21. 难度：中等

如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为，宿舍楼底部的俯角为，量得教学楼与宿舍楼之间的距离，求宿舍楼的高结果精确到

参考数据：，，，，，

22. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，，，求的正弦值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．

（1）求m的值；

（2）若PA=2AB，求k的值．

24. 难度：中等

已知，如图，矩形ABCD的顶点A，D分别在的边PM，PN上，顶点B、C在的边MN上且．

请在图1中在线段AB的左侧画一个矩形EGBF∽矩形ABCD，使得点E，点G，点F分别在线段AM、AB、MB上保留必要的痕迹，并作简单的说明

若矩形ABCD的边，，请计算中矩形EGBF的边长EF的长度．

若矩形ABCD的边，，则中矩形EGBF的边长EF的长度为______．

25. 难度：中等

已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．

（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．

26. 难度：中等

阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为，再通过研究函数的图象与函数的图象（如图）的交点，使问题得到解决．

（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______；

（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______；

（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式只有一个整数解，求的取值范围．

27. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；理由；

（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；

（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的二次对称点．

如图1，点．

若点B是点A关于y轴，直线：的二次对称点，则点B的坐标为______；

若点是点A关于y轴，直线：的二次对称点，则a的值为______；

若点是点A关于y轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为______；

如图2，的半径为若上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线：的二次对称点，且点在射线上，b的取值范围是______；

是x轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线：的二次对称点，且点在y轴上，求t的取值范围．