北京市石景山区2019届中考数学一模试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 正方体

3. 难度：中等

实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：中等

下列图案中，是中心对称图形的为（　　）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：简单

如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（    ）

A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°

6. 难度：中等

为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．

   

（以上数据来自国家统计局）

根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（    ）

A. 与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人

B. 2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降

C. 2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万

D. 2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点

二、填空题

8. 难度：简单

请你写出一个大于2小于3的无理数是______．

9. 难度：中等

如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）

10. 难度：中等

一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为____________．

11. 难度：中等

若正多边形的一个内角是135°，则该正多边形的边数为___________．

12. 难度：中等

如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，．若，，，则_________．

13. 难度：中等

如果，那么代数式的值是__________．

14. 难度：中等

我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为__________________．

15. 难度：中等

如图，AB是的一条弦，P是 上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若，，则CD长的最大值为________________．

三、解答题

16. 难度：中等

下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点A．

求作：直线AD，使得．

作法：如图2，

①在直线l上任取一点B，连接AB；

②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；

③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；

④作直线AD．

所以直线AD就是所求作的直线．

根据小立设计的尺规作图过程，

（1）.使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）2.完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）

证明：连接CD．

∵，

∴四边形ABCD是___________（_________________）．

∴（_____________）．

17. 难度：中等

计算：．

18. 难度：中等

解不等式组：

19. 难度：中等

关于x的一元二次方程．

（1）.求证：方程总有两个实数根；

（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．

20. 难度：中等

如图，在中，，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得，连接DF交AC于点G，连接CF．

（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；

（2）若，，，求CD的长．

21. 难度：中等

如图，AB是的直径，过上一点C作的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交于点F，连接AC，AF．

（1）求证：；

（2）连接BC，若的半径为5，，求BC的长．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点．

（1）求的值；

（2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．

①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；

②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

23. 难度：中等

如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作交于点D，连接AD，CD．

已知，设A，P两点间的距离为，C，D两点间的距离为．

（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）

小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探宄．

下面是小荣的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当时，AP的长度约为__________cm．

24. 难度：中等

为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：

成绩x 学校
甲	4	11	13	10	2
乙	6	3	15	14	2

（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）

b．甲校成绩在这一组的是：

70    70    70    71    72    73    73    73    74    75    76    77    78

c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：

学校	平均分	中位数	众数
甲	74.2	n	85
乙	73.5	76	84

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中n的值；

（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________；

（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．

25. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．

（1）求m的值；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）是线段上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．

26. 难度：困难

如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．

27. 难度：困难

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作．

（1）已知点，

①直接写出的值；

②直线与x轴交于点F，当取最小值时，求k的取值范围；

（2）的圆心为 ，半径为1．若，直接写出t的取值范围．