江苏省启东中学2010年高三适应性考试

一、填空题

1. 难度：简单

 已知复数，则的虚部为    ▲    . 

2. 难度：简单

 为了抗震救灾，现要在学生人数比例为的、、三所高校中，用分层抽样方法抽取名志愿者，若在高校恰好抽出了6名志愿者，那么    ▲    .

3. 难度：简单

 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是    ▲    .

4. 难度：简单

 已知向量，若，则=    ▲    .

5. 难度：简单

 已知集合，若从中任取一个元素作为直线的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是    ▲    .

6. 难度：简单

 在等比数列中，若，，则    ▲    . 

7. 难度：简单

 已知函数，则的值为    ▲    .

8. 难度：简单

 按如图所示的流程图运算，则输出的    ▲    .

9. 难度：简单

 由“若直角三角形两直角边的长分别为，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为=    ▲    .

10. 难度：中等

 已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率=    ▲    .

11. 难度：中等

 已知数列满足，则该数列的前20项的和为    ▲    .

12. 难度：简单

 已知直线与圆：相交于两点，若点M在圆上，且有（为坐标原点），则实数=    ▲    .

13. 难度：中等

 若，且，则的最小值为    ▲    .

14. 难度：中等

 设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为    ▲    .

二、解答题

15. 难度：简单

如图，在直四棱柱中，，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面.

16. 难度：中等

设的三个内角所对的边分别为，且满足.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，试求的最小值.

17. 难度：中等

设数列的前项和，数列满足.

（Ⅰ）若成等比数列，试求的值；

（Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.

18. 难度：中等

某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.

（Ⅰ）试将表示为的函数；

（Ⅱ）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？

19. 难度：压轴

已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.

（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；

（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；

（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.

20. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）若有两个不同的解，求的值；

（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求在上的最大值.