2012-2013学年湖南省怀化市高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

是虚数单位，复数为

A．　　　       B．            C．          D．

2. 难度：简单

若, , 则的元素个数是

A．0                B．1                C．2                D．不能确定

3. 难度：简单

如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为

A．                                B．

C．                                D．

4. 难度：简单

高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有

A．16种            B．18种             C．20种             D．22种

5. 难度：简单

若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为

A．              B．               C．              D．

6. 难度：简单

设直线l的方程为： ()，则直线l的倾斜角α的范围是

A．           B．         C．        D．

7. 难度：中等

下列命题正确的有

①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；

②命题：“”的否定：“”；

③设随机变量服从正态分布, 若，则；

④回归直线一定过样本中心（）.

A．1个             B．2个              C．3个              D．4个

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，定义点、之间的“理想距离”为：；若到点、的“理想距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和是

A．            B．              C．10               D．5

二、填空题

9. 难度：简单

计算的值等于       ．

10. 难度：简单

如图，点是圆上的点，且， ，则圆的面积等于      ．

11. 难度：简单

若曲线的极坐标方程为 ， 则曲线C的普通方程为            .

12. 难度：简单

看程序运行后的输出结果        ．

13. 难度：简单

已知、是不同的两个平面，直线，直线，命题：与无公共点；命题：， 则是的             条件.

14. 难度：简单

为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程：现在加密密钥为(且)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为             ．

15. 难度：简单

已知,,成等差数列且公差不为零，则直线被圆截得的弦长的最小值为_______．

16. 难度：简单

已知，且，当时,       ；若把表示成的函数，其解析式是           .

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）  

已知 设， ，，若图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．

（1）求的值；

（2）在中，分别为角的对边，．当时，求的值．

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜.

(1) 求该考生8道题全答对的概率；

(2)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求证：A₁C⊥面AEF；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值．

20. 难度：简单

（本小题满分13分）)

京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 (单位：)和时间 (单位：)的关系为：.

（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；

（2）求列车正常行驶的速度；

（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值.

21. 难度：简单

（本小题满分13分）

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

（1）求这三条曲线的方程；

（2）对于抛物线上任意一点，点都满足，求的取值范围．

22. 难度：简单

（本小题满分13分）

已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．

设数列的前项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中，令，，求；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．