2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

计算：

2. 难度：简单

设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则

3. 难度：简单

若，则

4. 难度：简单

已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

5. 难度：简单

设常数，若的二项展开式中项的系数为，则

6. 难度：简单

方程的实数解为________

7. 难度：简单

在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________

8. 难度：简单

盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

9. 难度：简单

设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________

10. 难度：简单

设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差

11. 难度：简单

若，则

12. 难度：简单

设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________

13. 难度：困难

在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________

14. 难度：困难

对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则

二、选择题

15. 难度：简单

设常数，集合，若，则的取值范围为（  ）

A．         B．          C．          D．

16. 难度：简单

钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A．充分条件         B．必要条件          C．充分必要条件      D．既非充分也非必要条件

17. 难度：简单

在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）

A．18               B．28               C．48               D．63

18. 难度：中等

在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（   ）.

A．    B．     C．     D．

三、解答题

19. 难度：简单

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,AD=1,A₁A=1，证明直线BC₁平行于平面DA₁C，并求直线BC₁到平面D₁AC的距离.

20. 难度：简单

甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

21. 难度：中等

已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

22. 难度：压轴

如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C₁—C₂型点”．

(1)在正确证明的左焦点是“C₁—C₂型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C₁—C₂型点”；

(3)求证：圆内的点都不是“C₁—C₂型点”．

23. 难度：压轴

给定常数，定义函数，数列满足.

（1）若，求及；

（2）求证：对任意，；

（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.