2009年天津市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i
B．-1-2i
C．1-2i
D．-1+2i

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．23

3. 难度：中等

命题“存在x∈R，2x²-1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，2x²-1＞0
B．存在x∈R，2x²-1＞0
C．对任意的x∈R，2x²-1≤0
D．对任意的x∈R，2x²-1＞0

4. 难度：中等

设函数f（x）=x-lnx（x＞0），则y=f（x）（ ）
A．在区间（，1），（l，e）内均有零点
B．在区间（，1），（l，e）内均无零点
C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点
D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

5. 难度：中等

阅读程序框图，则输出的S=（ ）


A．26
B．35
C．40
D．57

6. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

7. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosϖx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

8. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

9. 难度：中等

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A．-1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜3
D．2＜a＜3

二、解答题

11. 难度：中等

某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取    名学生．

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=    ．

13. 难度：中等

设直线l₁的参数方程为（t为参数），直线l₂的方程为y=3x+4则l₁与l₂的距离为    ．

14. 难度：中等

若圆x²+y²=4与圆x²+y²+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=    ．

15. 难度：中等

在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是    ．

16. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有    个（用数字作答）

17. 难度：中等

已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．

18. 难度：中等

在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

19. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．

21. 难度：中等

以知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交与A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求的值．

22. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞1）．设s_n=a₁b₁+a₂b₂…..+a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+…..+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N⁺，
（1）若a₁（2）=b₁（3）=1，d=2，q=3，求S₃的值；
（Ⅱ）若b₁（6）=1，证明（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=，n∈（10）N⁺；
（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k₁，k₂，…，k_n和l₁，l₂，…，l_n是1，2，…，n的两个不同的排列，c₁=a_k1b₁+a_k2b₂+…+a_knb_n，c₂=a_l1b₁+a_l2b₂+…+a_lnb_n证明c₁≠c₂．