2005年江西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I={x|-3＜x＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={-2，-1，2}，则A∪（∁_IB）等于（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为纯虚数，则实数b=（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

3. 难度：中等

“a=b”是“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y-b）²=2相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ ）
A．4项
B．3项
C．2项
D．1项

5. 难度：中等

设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，数小正周期为2π
D．非周期函数

6. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（-4，2），则与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°

7. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，则=（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

9. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π

10. 难度：中等

已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a；
②a＜b＜0；
③0＜a＜b；
④b＜a＜0；
⑤a=b，
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11. 难度：中等

在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若函数是奇函数，则a=    ．

14. 难度：中等

若实数x、y满足，则的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=，BB₁=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为     ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

17. 难度：中等

已知函数（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．

18. 难度：中等

已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（-），令f（x）=•．是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．

19. 难度：中等

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数．
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a=1，a_n+1=（4-a_n），n∈N．
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

22. 难度：中等

如图，设抛物线C：y=x²的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．