2010年江苏省南京市六合高级中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算=    ．

2. 难度：中等

函数y=sin2x-cos2x的最小正周期是    ．

3. 难度：中等

命题p：a∈M={x|x²-x＜0}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，p是q的    条件．

4. 难度：中等

圆x²+y²-6x-4y+12=0上一点到直线3x+4y-2=0的距离的最大值为    ．

5. 难度：中等

已知向量、的夹角为60°，||=2，||=1，且（k+）⊥（2-），则实数k=    ．

6. 难度：中等

已知样本a，b，5，6，7的平均数是5，方差是2，则ab的值为    ．

7. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

8. 难度：中等

一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是     ．

9. 难度：中等

已知点A（4，6），点P是双曲线C：上的一个动点，点F是双曲线C的右焦点，则PA+PF的最小值为    ．

10. 难度：中等

，设{a_n}是正项数列，其前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

11. 难度：中等

函数y=f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）-f（-x）＞-1的解集为    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的n=    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件目标函数z=4x+3y的最小值为    ．

14. 难度：中等

给出以下四个命题：
①函数y=f（x）在R上是增函数的充分不必要条件是f'（x）＞0对x∈R恒成立；
②等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=16，则a₃=±4；
③把函数y=sin（2-2x）的图象向左平移1个单位，则得到的图象对应的函数解析式为y=-sin2x；
④若数列{a_n}是等比数列，则a₁+a₂+a₃+a₄，a₅+a₆+a₇+a₈，a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂也一定成等比数列．
其中正确的是    ．

15. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，求sinA．

16. 难度：中等

如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁-A₁BC₁后得到的几何体．
（1）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）求证：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

17. 难度：中等

已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

18. 难度：中等

某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）是奇函数，
①方程f（x）=2在x∈[-2，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
②不等式f（x）+2b≥0对∀x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）试证数列是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式．
（2）在数列{b_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（3）①试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．
②在数列{b_n}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交于AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求线段CE的长．

22. 难度：中等

求圆C：x²+y²=4在矩阵对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．

23. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，设l与曲线（θ为参数）交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积．

24. 难度：中等

求证：对于任意不小于3的自然数，．

25. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC⊥BC，且AB=4，AC=AA₁=2．求二面角C₁-A₁B-C的余弦值．

26. 难度：中等

甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．