2009年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁_UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{5}
C．{1，2，3}
D．{3，4，6}

2. 难度：中等

某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

3. 难度：中等

已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（1+i）等于（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．2+i

4. 难度：中等

已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+ψ）（A＞0，ω＞0，|ψ|＜），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．f（x）=2sin（x+）
B．f（x）=4sin（x+）
C．f（x）=2sin（x-）
D．f（x）=4sin（x-）

6. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃m∈{R}，使f（x）=（m-1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减
B．∀a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点
C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
D．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

7. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于非零向量，，定义运算“#”：#=||•||sinθ，其中θ为，的夹角．有两两不共线的三个向量，，，下列结论：①若#=#，则=；②#=#；③若#=0，则∥；④（+）#=#+#；⑤#=（-）#．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＞f（sin2）

二、解答题

11. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则此双曲线的标准方程是     ．

12. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

若（2x+）ⁿ的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

若过点A（a，a）可作圆x²+y²-2ax+a²-3=0的两条切线，则实数a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，共有     种不同的种法

16. 难度：中等

由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：①第2列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；②第1列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9个数之和等于9，则a₂₂≥1．其中正确的序号有    （填写所有正确结论的序号）．

17. 难度：中等

若函数（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a：b：c：d=    ．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a．b．c，且，，BC边上中线AM的长为．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

19. 难度：中等

盒子中装着标有数字1、2、3、4的卡片分别有1张、2张、3张、4张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片的最大数字，求：
（Ⅰ）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（Ⅲ）设取出的三张卡片上的数字之和为η，求P（η≥7）．

20. 难度：中等

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-ABF的体积．

21. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为4，离心率为，F₁，F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足与共线，与共线，且，求四边形PMQN面积的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-1使，方程有实根，求实数b的取值范围．