2009年上海市卢湾区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合，则∁_RA=    ．

2. 难度：中等

不等式≥0的解为    ．

3. 难度：中等

设f（x）的反函数为f^-1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f^-1（2x+1）=1，则x=    ．

4. 难度：中等

若z₁=1+i，z₂=a-i，其中i为虚数单位，且，则实数a=    ．

5. 难度：中等

二项式的展开式中的常数项为    ．

6. 难度：中等

若点M（x，y）是圆x²+y²=r²内异于圆心的点，则直线xx+yy=r²与该圆的位置关系是    ．

7. 难度：中等

将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是    ．

8. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，则∠C=    ．

10. 难度：中等

若函数能使得不等式|f（x）-m|＜2在区间上恒成立，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数λ，使得成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量是直线l：x-y+10=0的法向量，则“向量关于和的终点共线分解系数”为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥β，α∥β，则m∥α
D．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α

13. 难度：中等

已知f（x）=，当θ∈（，）时，f（sin2θ）-f（-sin2θ）可化简为（ ）
A．2sinθ
B．-2cosθ
C．-2sinθ
D．2cosθ

14. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项之和为S_n，若（n∈N^*），则{a_n}（ ）
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，或是等比数列
D．可以既不是等比数列，也不是等差数列

15. 难度：中等

关于函数和实数m、n的下列结论中正确的是（ ）
A．若-3≤m＜n，则f（m）＜f（n）
B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
C．若f（m）＜f（n），则m²＜n²
D．若f（m）＜f（n），则m³＜n³

三、解答题

16. 难度：中等

如图已知点P在圆柱OO₁的底面圆周上，AB为圆O的直径，
（1）求证：BP⊥A₁P；
（2）若圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，求异面直线A₁B与AP所成角大小．

17. 难度：中等

袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球．
（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；
（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的概率分布律，并求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为A_n，且对任意正整数n，都满足：ta_n-1=A_n，其中t＞1为实数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n为杨辉三角第n行中所有数的和，即b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n为杨辉三角前n行中所有数的和，亦即为数列{b_n}的前n项和，求的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=|2^x-1-1|，（x∈R）．
（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（-∞，1）上的单调性；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足，．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，
则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
①将（1）中的曲线C推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；
②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．