2008年湖北省武汉市华中师大一附中高三五月调考数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若条件p：|x+1|≤4，条件q：x²-5x+6≤0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

（理）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x）；给出下列结论：
①；②Φ（x）=1-Φ（-x）；③P（|ξ|＜a）=2Φ（a）-1；④P（|ξ|＞a）=1-Φ（a）
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x），g（x）都有反函数，且函数f（x-1）和g^-1（x-2）的图象关于直线y=x对称，若g（5）=2004，则f（4）为（ ）
A．2007
B．2006
C．2005
D．2004

4. 难度：中等

对于任意的x∈R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．a＜3
D．a≤3

5. 难度：中等

已知函数f（x）=-4sin²x+4cosx+1-a，若关于x的方程在区间上有解，则a的取值范围是（ ）
A．[-8，0]
B．[-3，5]
C．[-4，5]
D．

6. 难度：中等

如图，点P是函数y=2sin（ωx+ϕ）的最小正周期是（ ）

A．4
B．8
C．4π
D．8π

7. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²=4，若抛物线过点A（-1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中各侧面与底面所成的二面角都是60°，且三角形ABC三边长分别为7、8、9，则此三棱锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知数列{x_n}满足x₂=，x_n=（x_n-1+x_n-2），n=3，4，…．若=2，则x₁=（ ）
A．
B．3
C．4
D．5

10. 难度：中等

（文）若a，b，c＞0且a²+ab+3ac+3bc=2，则2a+b+3c的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

11. 难度：中等

已知C为线段AB上一点，为直线AB外一点，满足，，，I为PC上一点，且，则的值为（ ）

A．
B．2
C．
D．0

12. 难度：中等

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2-2）a万元
B．5a万元
C．（2+1）a万元
D．（2+3）a万元

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数 交于M、N两点，则|MN|的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知（x²-）ⁿ）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是    ．

15. 难度：中等

设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为[-4，4]，其图象如图，那么不等式的解集为    ．

17. 难度：中等

半径为的球内有一个内接正三棱锥P-ABC，过球心O及一侧棱PA作截面截三棱锥及球面，所得截面如右图所示，则此三棱锥的侧面积为    ．

18. 难度：中等

在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有    颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为    颗．（结果用n表示）

19. 难度：中等

（文科做）已知向量=（cosx，sinx），=（cos，-sin），且，求：
①及||；
②若f（x）=-2λ||的最小值是，求实数λ的值．

20. 难度：中等

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

21. 难度：中等

（文）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的．现投掷骰子根据其点数决定棋子是否移动；若掷出的点数是奇数，则棋子不动；若掷出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置在顶点A，回答下列问题：
（1）投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率是多少？
（2）投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？

22. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．
（1）求F在何处时，EF⊥平面PBC；
（2）在条件（1）下，EF是否为PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
（3）在条件（1）下，求直线BD与平面BEF所成的角．

23. 难度：中等

某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m-x）x²成正比；②当时，；③，其中a为常数，且a∈[0，2]
（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式；
（2）求产值y的最大值，并求出此时x的值．

24. 难度：中等

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．

25. 难度：中等

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x₁=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N^*）．

26. 难度：中等

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，，求证：．