2009-2010学年天津市六校高三第三次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，且为纯虚数，则a等于（ ）
A．
B．
C．1
D．-1

2. 难度：中等

已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（ ）
A．6
B．-6
C．12
D．-12

3. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则xh2-3x+2≠0”
B．若是“”的充要条件
C．若“p且q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题
D．命题p：”∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则¬p：”∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

5. 难度：中等

设，则（ ）
A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b

6. 难度：中等

设函数，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-]上是增函数；     ④f（x）的图象关于直线x=对称；
⑤当x∈[-时，f（x）的值域为[-]．
其中正确的命题为（ ）
A．①②④
B．③④⑤
C．②③
D．③④

8. 难度：中等

如果圆（x-a）²+（y-a）²=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-3，-1）∪（1，3）
B．（-3，3）
C．[-1，1]
D．（-3，-1]∪[1，3）

9. 难度：中等

定义两种运算：，a⊕b=，a⊗b=，则函数f（x）=的解析式为（ ）
A．f（x）=-，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
B．f（x）=，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
C．f（x）=-，x∈[-2，0）∪（0，2]
D．f（x）=，x∈[-2，0）∪（0，2]

10. 难度：中等

已知数列{x_n}满足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0）则数列{x_n}的前2010项的和S₂₀₁₀为（ ）
A．1340
B．1338
C．670
D．669

二、解答题

11. 难度：中等

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，圆O的半径r=AB=4，则圆心O到AC的距离为    ．

12. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    平方单位．

13. 难度：中等

阅读右面的程序框图，则输出的S=    ．

14. 难度：中等

为了保护环境，发展低碳经济，2010年全国“两会”使用的记录纸、笔记本、环保袋、手提袋等均是以石灰石为原料生产的石头纸用品，已知某单位每月石头纸用品的产量最少为300吨，最多为500吨，每月成本y（元）与每月产量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x²-200x+80000，若要使每吨的平均成本最低，则该单位每月产量应为    吨．

15. 难度：中等

设点P为△ABC的重心，若AB=2，AC=4，则=    ．

16. 难度：中等

若不等式的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的取值集合为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，tanA=．
（1）求角C的大小；
（2）若AB边的长为5，求BC边的长．

18. 难度：中等

设O为坐标原点，点P的坐标（x-2，x-y）
（I）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（II）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S-CD-A的平面角为45°，M为AB中点，N为SC中点．
（1）证明：MN∥平面SAD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；
（3）若，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成角为30°．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式≥128的最小n值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是，求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．